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296 F Einige Standardformen der Metrik
Setzen wir am in (F.13) ein, so folgt: ein Raumzeitgebiet ist statisch, wenn ein Feld ξ
mit ξ 2 > 0 existiert, das den Gleichungen
ξn
Dmξn + Dnξm = 0 , Dm
ξ
ξm
− Dn 2
= 0 (F.15)
ξ2 genügt. Dann kann eine Funktion T(x) aus ∂nT = ξn/ξ 2 bestimmt und als Koordinatenzeit
x 0 = T verwendet werden. Die Koordinatenzeit ist in einer statischen Raumzeit
geometrisch durch das Killingfeld ξ ausgezeichnet. Das Feld ξ hat dann Komponenten
ξn = (1, 0, . . ., 0) ξ 2 = (1/g 00 , 0, . . ., 0).
Führen wir in einer Schicht gleicher Zeit Koordinaten x 1 , . . ., x d−1 ein und verwenden
wir in anderen Schichten gleicher Zeit dieselben räumlichen Koordinaten x 1 , . . ., x d−1
jeweils für die Punkte, die durch Integralkurven von ξ verbunden sind, so ändern sich
längs solcher Integralkurven von ξ nicht die räumlichen Koordinaten, also gilt für die
Integralkurven
0 = dxi
dλ = ξi = g i0 ξ0 , i ∈ {1, . . .,d − 1} , (F.16)
und die Metrik ist blockdiagonal g i0 = 0, g0i = 0. Dann gilt ξ m = g mn ξn = (1, 0, . . ., 0)
und ξ 2 = g00. Zudem hängt die Metrik nur von den räumlichen Koordinaten ab, da ihre
Lieableitung längs ξ verschwindet Lξgmn = ∂0gmn = 0. Die Christoffelsymbole haben
daher folgende Werte
Γ00 0 = 0 , Γ0j 0 = ∂jg00
2g00
, Γjk 0 = 0 , i, j, k, l ∈ {1, . . .,d − 1}
Γ00 i = − 1
2 gij ∂jg00 , Γ0j i = 0 , Γjk i = 1
2 gil (∂jglk + ∂kglj − ∂lgij) .
Mannigfaltigkeiten mit Drehsymmetrie
(F.17)
Wenn eine Mannigfaltigkeit Drehungen als Isometrien zuläßt, so erzeugen sie wie jede
kontinuierliche Gruppe G, angewendet auf einen Punkt p, den Orbit Op = G/Hp, wobei
G = SO(3) ist und Hp die Untergruppe derjenigen Transformationen ist, die p invariant
lassen (B.23). Wir unterstellen, daß in einer Umgebung U, die wir betrachten, die Orbits
zweidimensionale Kugelschalen SO(3)/SO(2) = S2 sind.
Die infinitesimalen Drehungen definieren an jedem Punkt p ∈ U den von den Kil-
lingvektoren aufgespannten Tangentialraum T O p
an die Kugelschalen sowie den Raum
der dazu senkrechten Tangentialvektoren T ⊥ p . Die Räume T O p und T ⊥ p enthalten keinen
gemeinsamen, von 0 verschiedenen, lichtartigen Vektor, denn die Kugelschalen sind
maximal symmetrisch und haben eine definite Metrik. 1
Da die Dimension der Stabilitätsgruppe Hq von Punkten q in der Umgebung U konstant
ist, läßt Hp, wie wir zunächst zeigen wollen, jeden Vektor v ∈ T ⊥ p invariant.
Betrachten wir dazu die zu SO(3) gehörigen Killingfelder in einer Umgebung von p. Die
Stabilitätsgruppe von p wird von einem Feld f = f m ∂m erzeugt, das bei p verschwindet,
1 Um auszuschließen, daß T O p lichtartig ist, beschränken wir uns auf Metriken der Signatur 2 − d .
dessen Komponenten also von der Form f m = −M m nx n sind, wenn wir p die Koordinaten
x = 0 geben und uns auf die niedrigste Ordnung in x beschränken.
Die von f erzeugte Transformation bildet den Tangentialraum des Orbits T O p auf sich
ab, denn er wird von den zu G = SO(3) gehörigen Tangentialvektorfeldern t aufgespannt,
die eine Liealgebra bilden, und δt = [f, t] ist wieder ein zu G gehöriges Killingfeld.
Da die Stabilitätsgruppe aus Isometrien besteht und T O p auf sich abbildet, bildet sie
auch den zu T O p senkrechten Raum T ⊥ p auf sich ab, denn sie läßt Skalarprodukte invariant.
Da in der Umgebung U die Dimension der Stabilitätsgruppe konstant ist, ist einschränkender
jeder Vektor v ∈ T ⊥ p invariant unter der Stabilitätsgruppe. Denn dann gibt es
an jedem Punkt x in dieser Umgebung eine Linearkombination f + εata der zu SO(3)
gehörigen Killingfelder, die bei x verschwindet und die Stabilitätsgruppe erzeugt
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0 = −M m nx n + ε a t m a + O(x2 ) . (F.18)
Hierbei ist εa linear in x und tm a sind die Komponenten von ta bei x = 0, wo sie T O p
aufspannen. Diese Gleichung kann aber für xn = vn , v ∈ T ⊥ p
unter der Stabilitätsgruppe ist
M m nv n = 0 ∀v ∈ T ⊥ p
, nur gelten, wenn v invariant
, (F.19)
denn M m nv n = δv m ist aus T ⊥ p und nur in T O p , wenn es verschwindet. Also läßt, wie
behauptet, die Stabilitätsgruppe Hp jeden Vektor in T ⊥ p invariant.
Da die Stabilitätsgruppe Hp keinen Tangentialvektor an den Orbit SO(3)/SO(2) in-
variant läßt, ist ein Vektor genau dann aus T ⊥ p , wenn er unter Hp invariant ist.
Die Menge O⊥ p der Punkte q auf geodätischen Linien, die in p den Orbit senkrecht
schneiden, nennen wir die Achse durch p. Da die Isometrien der Stabilitätsgruppe Hp
geodätische Linien auf geodätische abbilden und weil Hp den Punkt p und die Vektoren
aus T ⊥ p invariant läßt, ist jeder Punkt q auf der Achse durch p invariant unter Hp. Denn
jeder solcher Punkt q ist durch die Geodätengleichung, den Anfangspunkt p und den
Tangentialvektor v festgelegt
d2xm mdxk dx
+ Γkl
dt2 dt
l
dt = 0, xm (0) = 0,
dx m
dt (0) = vm , v m ↔ x m (1) . (F.20)
Die Punkte auf der Achse durch p, die zu Tangentialvektoren aus einer Umgebung von
v = 0 gehören, nennen wir einen Achsenabschnitt. Bei genügend kleinen Abschnitten ist
die Abbildung von Tangentialvektor v auf den Achsenpunkt q mit Koordinaten xm (1)
umkehrbar.
Da die Dimension der Stabilitätsgruppe in der betrachteten Umgebung U von p konstant
ist, ist für alle Punkte q ∈ U auf der Achse durch p wegen Hp ⊂ Hq die Stabilitätsgruppe
gleich Hq = Hp.
Da die Punkte auf der Achse invariant unter Hp sind, sind es auch die Tangentialvektoren
an Kurven, die in der Achse verlaufen. Die Tangentialvektoren an die Achse
stehen daher in jedem Achsenpunkt q ∈ O⊥ p senkrecht auf T O q , denn sie sind invariant
unter Hq. Die Achse durch p schneidet überall die Kugelschalen senkrecht [67].