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304 G Die Noethertheoreme
Der Strom ist lokal, wenn die Symmetrie lokal ist.
Bei einer lokalen Wirkung kann man für jede gegebene infinitesimale Transformation
δφl nach Ausrechnen von δL leicht entscheiden, ob sie zu einer kontinuierlichen Symmetrie
gehört. δL läßt sich als Funktion der Jet-Variablen genau dann als Ableitung
∂mK m schreiben (G.62), wenn die Eulerableitung von δL verschwindet.
Umgekehrt gehört zu jedem Strom, der aufgrund der Bewegungsgleichungen erhalten
ist, eine Symmetrie der Wirkung. Denn Funktionen j m der Felder und ihrer Ableitungen
gehören zu einem Strom, der aufgrund der Bewegungsgleichungen erhalten ist, wenn
identisch in den Jet-Variablen gilt 1
0 = ∂mj m δW
+ nl + d
δφl
m l ∂mδW
(G.22)
δφl.
Die Größen nl und d m l hängen auf nicht weiter festgelegte Art von den Koordinaten x,
den Feldern φl(x) und ihren Ableitungen ab. Durch Abwälzen der Ableitung können wir
diese Gleichung in die Form (G.16) bringen
0 = ∂m(j m + d m l
δW
δφl
) +nl − ∂md m lδW
Zu jedem erhaltenen Strom j m gehört also die infinitesimale Symmetrie
δφl = nl − ∂md m l
und zu dieser Symmetrie der Wirkung der Strom
j m = j m + d m l
δW
δφl
δφl
. (G.23)
(G.24)
+ ∂nB nm , B mn = −B nm . (G.25)
Die Ströme j m und j m sind äquivalent, sie stimmen für Felder, die die Bewegungsgleichungen
erfüllen, bis auf einen trivialen Strom überein.
Aus der Kontinuitätsgleichung (5.20) folgt (5.22), daß die zum erhaltenen Strom gehörige
Ladung erhalten ist
Q(t) = d 3 xj 0 (t,x) ,
dQ
dt
= 0 , (G.26)
wenn die Stromdichten j für große Abstände genügend schnell abfallen und das Integrationsvolumen
so groß gewählt ist, daß keine Ladung über die Randfläche strömt.
Wir fassen zusammen:
Noethertheorem der Feldtheorie: Zu jeder kontinuierlichen, lokalen Symmetrie der
lokalen Wirkung gehört ein erhaltener, lokaler Strom (G.21) und eine Erhaltungsgröße
Q (G.26). Umgekehrt gehört zu jedem lokalen, erhaltenen Strom eine kontinuierliche,
lokale Symmetrie der lokalen Wirkung.
1 δW
Falls höhere Ableitungen von auftreten, wälzt man sie wie in G.1 ab.
δφl
G.3 Eichsymmetrien und Noetheridentitäten 305
Wie in der Mechanik (4.45) ist am Noethertheorem nichts zu beweisen, man muß nur
erkennen, daß eine infinitesimalen Symmetrie der Wirkung einen erhaltenen Strom definiert
(G.16) und umgekehrt. Der zu einer infinitesimalen Symmetrie gehörige erhaltene
Strom ist eindeutig bis auf einen trivialen Strom; umgekehrt ist, wie wir anschließend
zeigen, die zu einem erhaltenen Strom gehörige infinitesimale Symmetrie eindeutig bis
auf eine Eichsymmetrie.
G.3 Eichsymmetrien und Noetheridentitäten
Wir haben bisher infinitesimale Transformationen der Felder φ betrachtet, die sich als
Linearkombination δξ = ξ i δi einer Basis δi schreiben lassen. Dabei sind die Transformationsparameter
ξ i , die zum Beispiel Richtung und Größe einer Drehung oder einer
Verschiebung angeben können, Komponenten eines Vektors in einem Raum mit der Dimension
der Transformationsgruppe, zu jedem solchen Vektor gehört eine infinitesimale
Transformation und umgekehrt.
Wir sprechen von einer infinitesimalen, lokalen Eichtransformation, wenn δξφ(x) linear
ist in einer frei wählbaren Funktion ξ(x) und endlich vielen ihrer partiellen Ableitungen
∂m1 . . .∂mnξ(x). Wenn beispielsweise δξ nur von höchstens den ersten Ableitungen von ξ
abhängt, ist die infinitesimale Eichtransformation von der Form
δξφl(x) = Nl ξ(x) + N m l ∂mξ(x) . (G.27)
Dabei zählt l die Komponenten der Felder φ ab und Nl und N m l sind Funktionen der
Jet-Variablen, also der Koordinaten x, der Felder φ(x) und endlich vieler partieller Ableitungen
von φ(x). So gehört die Eichtransformation des Viererpotentials δAl = ∂lξ
(5.84) zu Nl = 0 und N m l = δ m l.
Ist eine Wirkung W[φ] von Feldern φ unter einer infinitesimalen, lokalen Eichtransformation
δξ invariant, so sind die Bewegungsgleichungen nicht unabhängig voneinander
und der zugehörige erhaltene Strom j m ist trivial bis auf Beiträge, die aufgrund der
Bewegungsgleichungen verschwinden; zu Eichsymmetrien gehören also Identitäten der
Bewegungsgleichungen und verschwindende Erhaltungsgrößen. Gelten umgekehrt zwischen
den Bewegungsgleichungen Identitäten, dann ist die Wirkung eichinvariant.
Dies folgt aus der Definition (G.16) einer infinitesimalen Symmetrie [23]
δξφl
δW
δφl
+ ∂mj m ξ
= 0 . (G.28)
Bilden wir hiervon die Eulerableitung nach ξ, so verschwindet sie. Zudem verschwindet
die Eulerableitung von ∂mj m ξ , denn dies ist eine vollständige Ableitung. Folglich
verschwindet die Eulerableitung des ersten Terms,
ˆ∂ δW δW
ˆ∂ξδξφl
δφl=Nl
δφl
− ∂mN m l
δW
δφl=0 . (G.29)
Zu jeder Eichinvarianz der Wirkung gehört eine Identität der Bewegungsgleichungen!