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182 8 Dynamik der Gravitation
die Einsteingleichungen (8.97) in erster Ordnung einfach inhomogene Wellengleichungen
deren Anfangswerte durch
¯ h mn = −2κ T mn
(0) , = η mn ∂m∂n , (8.110)
∂0 ¯ h m0 (0,x) = −∂i ¯ h mi (0,x) , ∆ ¯ h m0 (0,x) = 2κT m0 (0,x) − ∂0∂i ¯ h mi (0,x) (8.111)
eingeschränkt sind. In der Anfangseichung ∂i ¯ h mi (0,x) = 0 und ∂0∂i ¯ h mi (0,x) = 0 gilt
insbesondere
∂0 ¯ h m0
(0,x) = 0 , h¯ m0 2κ
(0,x) = − d
4π
3 y T m0 (0,y)
. (8.112)
|x − y|
Jede Lösung dieser Gleichung läßt sich als Summe einer partikulären Lösung, dem
retardierten Potential, und einer Lösung der homogenen Wellengleichung, einer linearisierten
Gravitationswelle, schreiben (5.119).
¯h mn = ¯ h mn
ret + ¯ h mn
Welle
(8.113)
Drücken wir die Lösung durch die Anfangswerte und die Inhomogenität für t > 0 aus,
so trägt zum retardierten Potential (5.143) zur Zeit t am Ort x
¯h mn
ret
(t,x) = −2κ
4π
|x−y| 0 mit Lichtgeschwindigkeit vom Ort x erreichen kann. Die Anfangswerte von hmn tragen zur Lösung zur Zeit t am Ort x mit ihren Mittelwerten Mt,x auf Kugelflächen
um x mit Radius t (c = 1) bei,
¯h mn
Welle(t,x) = t Mt,x[φ mn ] + ∂
∂tt Mt,x[ψ mn ]
¯h mn (0,x) = ψ mn (x) ,
(8.115)
∂
∂t ¯ h mn (0,x) = φ mn (x) . (8.116)
In niedrigster Ordnung erzeugt zwar der Energie-Impulstensor der Materie Gravitation,
aber die Gravitation wirkt in dieser Ordnung nicht auf die Materie zurück,
∂mT mn
(0) = 0 . (8.117)
Dann genügt das retardierte Potential nicht nur anfänglich, sondern auch später der
Lorenzbedingung ∂m ¯ h mn = 0.
Beispielsweise gilt die lokale Erhaltung von Energie und Impuls bei einer ruhenden
Wolke freier Teilchen mit Massendichte ρ(x)
T 00
(0) = ρ(x) c (8.118)
oder bei einer axialsymmetrischen, um die z-Achse rotierenden Massenverteilung
T 00
(0) = ρ c , T 01
(0) = T 10
(0) = −ρ Ωy , T 02
(0) = T 20
(0) = ρ Ωx , (8.119)
bei der die Massendichte ρ und die Winkelgeschwindigkeit Ω beliebige Funktionen von
z und x 2 + y 2 sind.
Zeitunabhängiges Fernfeld
Bis auf Terme, die wie 1/r 3 abfallen, ist wegen
8.8 Asymptotisch flache Raumzeit 183
1 1
=
|x − y| r + xiyi 1
+ O(
r3 r3) (8.120)
das retardierte Potential, das zu einem zeitunabhängigen Energie-Impulstensor gehört,
− 4π
2κ ¯ h mn = 1
d
r
3 y T mn + xi
r3
d 3 y y i T mn . (8.121)
Die hierbei auftretenden Integrale vereinfachen sich, denn aus ∂nT mn = 0 folgt
T mn = ∂l(x m T nl ) = 1
2 ∂k∂l(x m x n T kl ) . (8.122)
Selbst wenn die Impulsdichten nicht verschwinden, so verschwindet bei einem zeitunab-
hängigen Energie-Impulstensor der räumliche Gesamtimpuls
P i
= d 3 xT i0
= d 3 x∂m(x i T 0m
) = d 3 xx i ∂0T 00 = 0 , i = 1, 2, 3 , (8.123)
denn das Integral über die räumliche Divergenz verschwindet.
Aus gleichem Grund verschwinden für i, j, k ∈ {1, 2, 3} die Momente
d 3 x (x i T j0 + x j T i0 ) = d 3 x∂m(x i x j T m0 ) = d 3 xx i x j ∂0T 00 = 0 , (8.124)
d 3 xT ij
= d 3 x 1
2 ∂m∂n(x i x j T mn
) = d 3 x 1
2 xix j ∂0∂0T 00 = 0 ,
d
(8.125)
3 xx k T ij
= d 3 x 1
2 ∂m(x k ∂n(x i x j T mn ) − x i x j T km ) = 0 . (8.126)
Durch Wahl des Ursprungs verschwinden die Koordinaten M0i des Energieschwerpunktes
0 = M 0i
= d 3 x (x i T 00 − x 0 T i0
) =
d 3 xx i T 00
| x 0 =0 . (8.127)
Damit ist das Fernfeld einer zeitunabhängigen Energie-Impulsverteilung in erster Ordnung
in κ bis auf Terme der Ordnung 1/r3 ,
¯h 00 = − 2κ
Mc
, Mc = d
4π r
3 xT 00 ,
¯h 0i = 2κ 1
4π 2r3εijk x j L k , ε ijk L k
= d 3 x (x i T 0j − x j T 0i ) ,
¯h ij (8.128)
= 0 ,
vollständig durch die Masse M und den Drehimpuls L festgelegt.
Masse und Drehimpuls können diesem Fernfeld mit (8.83) und (8.86) abgelesen werden,
P 0 = Mc, P i = 0 = M 0i , M ij = ε ijk L k . Diese Oberflächenintegrale behalten ihre
Bedeutung in der asymptotisch flachen Raumzeit, selbst wenn die Quelle zeitabhängig
oder die Gravitation in einem beschränkten Bereich stark wird.
Die zugehörigen nichtverschwindenden Komponenten von hmn (8.108) sind
h00 = h11 = h22 = h33 = − κ Mc
, h0i = −
4π r
κ
4π εijkxj
r3 Lk . (8.129)