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116 5 Elektrodynamik
und in eigenen Koordinaten x = (x ′ − vt ′ )/ √ 1 − v2 , y = y ′ und z = z ′ ,
E ′ (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ (1 − v
) =
2 ) q
((x ′ − vt ′ ) 2 + (1 − v2 )(y ′2 + z ′ 2 )) 3/2x ′ − vt ′ , y ′ , z ′
(1 − v
=
2 ) q
(1 − v2 sin 2 θ) 3/2
e(t ′ )
.
r ′ 2
(5.229)
Das elektrische Feld eines Teilchens, das die Weltlinie w(t) = w(0) + vt gleichförmig
durchläuft, zeigt zur Zeit t am Ort x in Richtung x − w(t) = re vom augenblicklichen
Ort des Teilchens w(t) zu x. Das Feld ist nicht radialsymmetrisch, sondern hängt
vom Winkel θ zwischen der Geschwindigkeit und der Richtung e vom Teilchen ab. In
Bewegungsrichtung ist es um (1 − v 2 ) 3/2 schwächer als quer dazu.
5.9 Geladenes Punktteilchen
Ein relativistisches, geladenes Punktteilchen, das eine Weltlinie Γ : s ↦→ z(s) durchläuft,
koppelt durch einen Zusatzterm zur Wirkung des freien Teilchens (4.14) und der Maxwellwirkung
des freien elektromagnetischen Feldes (5.188) an die elektromagnetischen
Felder Al(x). Die Wechselwirkung (in Maßsystemen mit c = 1) beträgt
WKopplung[A, Γ] = −q ds dzm
ds Am(z(s)) . (5.230)
Die Wechselwirkung WKopplung ist bis auf Randterme invariant unter Reparametrisierung
s(s ′ ) der Weltlinie und unter Eichtransformationen δAm = ∂mΛ. Die Wechselwirkung
ist auch invariant unter allgemeinen Koordinatentransformationen, allerdings
ist die Maxwell-Wirkung nur unter der Untergruppe der konformen Transformationen
invariant und die Wirkung der Punktteilchen nur unter der noch kleineren Gruppe der
Poincaré-Transformationen. Wegen der Translationsinvarianz aller Beiträge zur Wirkung
sind der Gesamtimpuls und die Gesamtenergie erhalten.
Wenn wir die Weltlinie z(s) variieren, ändert sich der Integrand von WKopplung in erster
Ordnung um
d(z m + δz m )
ds
Am(z + δz) − dzm
ds Am(z) = dδzm
ds Am(z) + dzm
ds δzn ∂nAm(z)
= d
dsδz m m d
Am−δz
ds Am(z(s)) + dzm
ds δzn∂nAm(z) = d
dsδz m Am+δz n Fnm
dz m
ds .
(5.231)
Der erste Term ist eine Ableitung, die zu δWKopplung nur Randterme beiträgt und die verschwinden,
wenn die Variation δz m am Rand verschwindet. Kombiniert mit der Variation
der Wirkung (4.14) des freien Teilchens ergeben sich die Bewegungsgleichungen
dpn ds = q F n dz
m
m
ds
(5.232)
5.9 Geladenes Punktteilchen 117
mit Teilchenimpulsen p n , die durch (4.103) gegeben sind.
Die Bewegungsgleichungen sind invariant unter Reparametrisierungen s(s ′ ). Wählen
wir als Bahnparameter die Zeit s = z 0 (s), so stimmen sie überein mit den Gleichungen
(5.35), die die Erhaltung der Gesamtenergie und des Gesamtimpulses garantieren und
aus denen man die Lorentzkraft abliest.
Um die Auswirkung der Kopplung auf das elektromagnetische Feld zu bestimmen,
schreiben wir sie (in Maßsystemen mit c = 1) als
WKopplung [A, Γ] = −q d 4
y ds dzl
ds δ4 (y − z(s))Al(y) (5.233)
und lesen den elektromagnetischen Strom als Variationsableitung − δWKopplung
δAl
(5.193) ab
j l
(y) = q ds δ 4 (y − z(s)) dzl
. (5.234)
ds
Wählen wir in diesem reparametrisierungsinvarianten Ausdruck speziell die Parametrisierung
s = z 0 (s), so können wir mit der δ-Funktion δ(y 0 −s) die Integration ausführen
und erhalten für die elektrische Ladungs- und Stromdichte des Punktteilchens mit Bahnkurve
z(t)
ρ(t,y) = q δ 3 (y − z(t)) , j (t,y) = q dz
dt δ3 (y − z(t)) . (5.235)
Die Strom- und Ladungsdichte erzeugt gemäß (5.161) das skalare Potential
φ(t,x) = d 3 y ρ(tret,y)
= q d
|x − y| 3 y δ3 (y − z(tret))
, tret = t − |x − y| . (5.236)
|x − y|
Da die retardierte Zeit tret = t−|x−y| von y abhängt, ist das Argument der δ-Funktion
y ′ = y−z(tret) eine verkettete Funktion der Integrationsvariablen y. Solch eine verkettete
δ-Funktion, angewendet auf eine Testfunktion f, ergibt nach Integralsubstitutionssatz
d 3 y δ 3 (y ′
(y))f(y) =
d 3 y ′ ∂y
det
∂y ′
δ 3 (y ′ )f(y(y ′ 1
)) =
det ∂y′
∂y |ˆy
f(ˆy) , y ′ (ˆy) = 0 .
(5.237)
Im vorliegenden Fall verschwindet y ′ bei y = z(tret), die Testfunktion f ist das
Coulomb-Potential 1/|x − z(tret)|. Die Jacobi-Matrix hat die Komponenten
′ i ∂y
∂yj = δij + N i j , N i j = − dzi
dt
xj − zj ∂y′
, det
|x − z| ∂y
dz x − z
= 1 − . (5.238)
dt |x − z|
und, weil N vom Rang 1 ist, die angegebene Determinante (I.10).
Damit ergibt sich das skalare Potential und mit gleicher Rechnung das Vektorpotential
φ(t,x) =
q
|x − z(tret)| − dz
dt
x−z
|x−z|
, A(t,x) =
q
|x − z(tret)| − dz
dt
dz
. (5.239)
x−z dt
|x−z|