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184 8 Dynamik der Gravitation
Thirring-Lense-Effekt
Anders als in Newtonscher Gravitationstheorie verursacht auch ein Drehimpuls L ein
Gravitationsfeld h0i (8.129). Es bewirkt den Thirring-Lense-Effekt 2 [53], daß die räumlichen
Bezugsrichtungen eines ruhenden Beobachters, deren Drehungsfreiheit er durch
hin- und herlaufendes Licht überwacht (C.141), sich gegenüber den Richtungen zu den
Fixsternen drehen.
Dieser Effekt tritt in einem kugelsymmetrischen Gravitationsfeld nicht auf: wie (6.89)
für ω = 0 zeigt, sind dort die Richtungen er, eθ und eϕ drehungsfrei.
In niedrigster Ordnung in 1/r reicht es, den Effekt linear in L für verschwindende
Masse zu berechnen, denn sie bewirkt nur Korrekturen höherer Ordnung.
Die Weltlinie eines ortsfesten Beobachters mit Tangentialvektor e0 m = δ0 m = dxm
ds ist
für M = 0 eine geodätische Weltlinie der Metrik (8.129), denn die Christoffelsymbole
Γ00 m und übrigens auch Γ0m 0 verschwinden, und mit der Notation δ
δs = e0 mDm gilt
δe0 = 0. Wie ein Magnet zieht ein Drehimpuls ein ruhendes Testteilchen weder an noch
δs
stößt er es ab.
Die räumlichen Bezugsrichtungen ei, i = 1, 2, 3, zu den zeitlich unveränderlichen Fixsternen
haben in niedrigster Ordnung die Komponenten ei m = δi m . Die Winkelgeschwindigkeit
Ω dieser Basis relativ zur drehungsfreien Basis entnehmen wir (C.142) für ˆbi = 0,
δei
δs
Wegen dei
ds = 0 und Γrs m e0 r ei s = Γ0i j ej m ist
= 1
c ωijej , Ω k = 1
2 εkij ωij . (8.130)
ωij = cΓ0i j = −cΓ0i j = − c
2 (∂ih0j − ∂jh0i) = G
c2(εjkl ∂i − ε ikl ∂j) xkLl r3 , (8.131)
und mit ε kij ε jfg = δ kf δ ig − δ kg δ if ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit
Ω k = G 1
c2 r5L k r 2 − 3x k (x L), (8.132)
mit der sich die Fixsterne um einen Beobachter drehen, der am Ort x ruht. Das Vektorfeld
Ω = G
c2Li∂i x
r3 hat die Ortsabhängigkeit der Feldstärke eines Dipols mit Dipolmoment L.
Bei einer starr mit der Winkelgeschwindigkeit ˆ Ω rotierenden, homogenen Kugel mit
Radius R ist L = 2/5 MR2ˆ Ω und die Präzession hat den Betrag Ω = LG/(c2R3 ) =
r0/(5R) ˆ Ω. Am Äquator der Erde, deren Schwarzschildradius r0Erde = 0,888ó10 −2m und
deren Radius 6,38ó10 6m beträgt [1], dauert eine Umdrehung der Fixsterne relativ zum
drehungsfreien Bezugssystem ˆ Ω/Ω = 358ó10 7 mal länger als ein Sternentag, also etwa
107 Jahre.
Für einen auf der Erdoberfläche mitgeführten Beobachter kommt durch die Kreisbewegung
Präzession, in einer Erdumlaufbahn geodätische Präzession (6.103), hinzu.
Dieser de Sitter-Effekt und der in einer Erdumlaufbahn hundertmal kleinere Thirring-
Lense-Effekt wurde 2011 nach Auswertung des Experiments Gravity-Probe-B mit einem
2 Die Anfänge von Thirring und Tirol lauten gleich. Es handelt sich nicht um ein englisches ” th“.
8.9 Gravitationswellen 185
Satelliten bestätigt, der im April 2004 gestartet wurde [54]. Im gleichen Jahr wurde
der Einfluß des Drehimpulses der Erde auf die Metrik (8.129) durch die sich daraus
ergebenen Drehung der Bahnebene der Satelliten Lageos und Lageos 2 bestätigt [55].
8.9 Gravitationswellen
Die linearisierten Einsteingleichungen (8.110) lassen im Vakuum, T mn = 0, Abweichungen
vom flachen Raum zu, die aus ebenen Wellen zusammengesetzt sind. Diese Gravitationswellen
sind Lösungen der Lorenzbedingung ∂m ¯ h mn und der homogenen Wellengleichung
¯ h mn = 0 und sind daher wie das elektromagnetische Viererpotential (5.165)
Wellenpakete und von der Form
¯h mn
(x) =
d 3 k
(2π) 3 2k 0
10
∗ mn
τ aτ
τ=1ǫ † ( k) e ikóx mn
+ ǫτ aτ( k) e −ikóx| √
k0 = k 2
. (8.133)
Hierbei haben wir die zehn Amplituden a † mn ( k) = a † nm ( Á
k) als Linearkombination
∗ mn
von zehn Basiselementen, den Polarisationstensoren ǫτ (k) geschrieben, mit denen sich
leichter die Lorenzbedingung (8.109), die Auswirkung der verbleibenden Koordinaten-
¯k
k
k
0 klären lassen.
Um die Polarisationstensoren angeben zu können, ergänzen
wir wie in Abbildung 8.2 den lichtartigen Vierervektor
k k = (k
n1 n2
Abbildung 8.2: Polarisationsvektoren
0 , k) = (| k|, k), k = 0, durch einen weiteren lichtartigen
Vektor ¯ k = (| k|, −k) und zwei dazu senkrechte, komplexe Vektoren
ni, i = 1, 2 mit raumartigem Real- und Imaginärteil zu
einer vierdimensionalen Basis, zum Beispiel n1(k) ∝ (0, w × k), n2(k) ∝ (0,n ∗ 1 × k), wobei der Real- und Imaginärteil von w
linear unabhängig sind. Diese Polarisationsvektoren haben Skalarprodukte
k 2 = 0 = ¯ k 2 , kó¯ k = 2 2
k , kóni = 0 = ¯ kóni ,
n ∗ (8.134)
iónj = −δij , i, j ∈ {1, 2} .
∗ mn
Als Polarisationstensoren ǫτ (k), τ = 1, . . .,10, verwenden wir
∗ mn 1
ǫ1 = √
2n m 1 nn1 − nm2 nn2 ∗ mn
ǫ2 = 1 √
2n m 1 nn2 + nm2 nn1 ∗ mn 1
ǫ3 =
2k 2km k n
∗ mn 1
ǫ4 =
2k 2
¯k m¯n k
∗ mn 1
ǫ5 =
2 √ 2k 2k m¯ n n
k + k¯ m ∗ mn
k ǫ6 = 1 √
2n m 1 nn1 + nm2 nn2 ∗ mn
ǫ7,8 = 1
2| k|k m n n i + k n n m ∗ mn
ii = 1, 2 ǫ9,10 = 1
2| m n
k ni +
k|¯ ¯ k n n m (8.135)
ii = 1, 2 .
transformationen sowie das Verhalten der physikalischen Amplituden unter Drehungen
¯