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104 5 Elektrodynamik
Um den Sachverhalt leicht einzusehen, verschieben wir in (5.143) die Integrationsvariable
und integrieren über z = x − y
4π uret(t,x) = d 3 g(t − |z|,x − z)
z . (5.150)
|z|
Bezeichnen wir (t,x) kurz als Vierervektor x und (|z|,z) als Vierervektor z, so schreibt
sich f = 4π uret als
3 d z
f(x) =
z0 g(x − z) , z0 = √ z 2 . (5.151)
Das Integral erstreckt sich über alle Punkte x − z des Rückwärtslichtkegels von x, wie
z2 = (z0 ) 2 −z 2 = 0, z0 > 0 zeigt. Beim Integral handelt es sich um den Fall m = 0 eines
Integrals über die Massenschale z2 = m2 ≥ 0,
3 d z
f(x) =
z0 g(x − z) , z0 = √ m2 + z 2 . (5.152)
Solche Integrale hängen, wie wir jetzt zeigen, Poincaré-invariant mit der Quelle g
zusammen: ˆ f(x) = f(Λ −1 (x − a)) gehört zu ˆg(x) = g(Λ −1 (x − a)).
Für Verschiebungen, x ′ = x + a, Λ = 1, liest man einfach ab,
3 3
ˆf(x)
d z
d z
= f(x − a) = g(x − a − z) = ˆg(x − z) , (5.153)
z0 z0 daß das verschobene retardierte Potential zur verschobenen Quelle gehört.
Da Lorentztransformationen linear sind, Λ −1 x − z = Λ −1 (x − z ′ ) mit z ′ = Λz, gilt
ˆf(x) = f(Λ −1 3 d z
x) =
z0 g(Λ−1 3 d z
x−z) =
z0 g(Λ−1 (x−z ′ 3 d z
)) =
z0 ˆg(x−z′ ) . (5.154)
Ist die Lorentztransformation spezieller eine Drehung, z ′ 0 = z 0 ,z ′ = Dz, dann können
wir leicht zu den gedrehten Integrationsvariablen (z ′ 1 , z ′ 2 , z ′ 3 ) übergehen. Der Betrag
der Determinante der Jacobi-Matrix J ist Eins (D.3),
J i j = ∂zi
∂z ′ j = D−1i j , | detJ| = 1 , (5.155)
und z ′ 0 = √ m 2 + z ′ 2 stimmt bei einer Drehung mit z 0 = √ m 2 + z 2 überein. Bei Drehungen
gilt also
3 ′
ˆf(x)
d z
=
z0
det J 3 ′
′ d z
ˆg(x − z ) =
z ′ 0 ˆg(x − z′ 3 d z
) = ˆg(x − z) . (5.156)
z0 Dabei haben wir im letzten Schritt die Integrationsvariable wieder z genannt. Das gedrehte
retardierte Potential ûret gehört also zur gedrehten Quelle ˆg .
Unter beliebigen zeitrichtungstreuen Lorentztransformationen von Vektoren z auf der
Massenschale, z 2 = m 2 ≥ 0, ist weder z 0 = √ m 2 + z 2 noch d 3 z invariant, wohl aber
d 3 z/z 0 .
5.5 Wellengleichung 105
Diesen Sachverhalt brauchen wir nur für drehungsfreie Lorentztransformationen in
x-Richtung (3.9) überprüfen, denn jede Lorentztransformation läßt sich als solch eine
Lorentztransformation schreiben, der eine Drehung vorangeht und eine Drehspiegelung
folgt (D.34). Die drehungsfreie Lorentztransformation in x-Richtung (3.9), angewendet
auf den Vierervektor ( √ m 2 + z 2 ,z), ergibt
√ m 2 + z ′ 2 =
√ m 2 + z 2 − v zx
√ 1 − v 2
z ′ x = zx − v √ m 2 + z 2
√ 1 − v 2
=
1 v zx
√
1 − v21 − √
m2 + z 2√
m2 + z 2 ,
, z ′ y = zy , z ′ z = zz ,
die Determinante der 3 × 3 -Jacobi-Matrix J, J i j = ∂z ′ i /∂z j , ist
det J = ∂z′ x
=
∂zx
1
√ 1 − v 21 −
(5.157)
v zx
√ m 2 + z 2. (5.158)
Insgesamt gilt für Integrale über Massenschalen von Vierervektoren z mit z 2 = m 2 ≥ 0
bei Wechsel der Integrationsvariablen durch zeitrichtungstreue Lorentztransformationen
d 3 z ′
√ m 2 + z ′ 2 =
d 3 z
√ m 2 + z ′ 2
det J =
d3z √ . (5.159)
m2 + z 2
In (5.154) können wir nun nach Wechsel und Umbenennen der Integrationsvariablen
folgern
3
ˆf(x)
d z
=
z0 ˆg(x − z′ 3 ′ d z
) =
z ′ 0 ˆg(x − z′ 3 d z
) = ˆg(x − z) . (5.160)
z0 Also gehört die Lorentztransformierte Funktion ˆ f zur Lorentztransformierten Quelle ˆg.
Transformation von Viererpotential und Viererstromdichte
Für das retardierte Viererpotential
A m ret (x) =
d 3 z
|z0 | jm (x − z)| √
z0 = z 2
, (5.161)
folgt, wenn wir wir mit Λ n m multiplizieren, daß zur Poincaré-transformierten Viererstromdichte
ˆj n (x) = Λ n mj m (Λ −1 (x − a)) (5.162)
das lorentztransformierte retardierte Potential gehört,
 n ret(x) = Λ n mA m ret(Λ −1 (x − a)) . (5.163)
Die Strom- und Ladungsdichten transformieren nicht wie vier Skalarfelder, sondern,
wie das Indexbild angibt, als Komponenten eines Vierervektorfeldes mit einem zusätzlichen
Faktor Λ . Dann genügt der transformierte Viererstrom ˆj n der Kontinuitätsgleichung,
wenn j m sie erfüllt,
∂x nˆj n (x) = Λ n m ∂x n(Λ−1 (x − a)) r ∂z rjm (z)| z=Λ −1 (x−a)
= Λ n m Λ −1r n ∂z rjm (z) = δ r m ∂z rjm (z) = ∂z mjm (z) = 0 .
(5.164)