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40 3 Transformationen
Dies ist im Maßsystem c = 1 die Lorentztransformation der Koordinaten eines Ereignisses
E in der t-x-Ebene auf die t ′ -x ′ -Koordinaten, die ein in x-Richtung mit Geschwindigkeit
v bewegter Beobachter demselben Ereignis zuschreibt.
Aus (3.2) sieht man, daß κ −1 und daher −v zur Umkehrtransformation gehört: für B ′
bewegt sich B mit Geschwindigkeit v in −x ′ -Richtung.
Lorentztransformation in vier Dimensionen
Auch wenn allgemeiner das Ereignis E nicht in der t-x-Ebene liegt, muß die Lorentztransformation
L der (t, x, y, z)-Koordinaten auf (t ′ , x ′ , y ′ , z ′ )-Koordinaten linear sein.
Denn die Weltlinien freier Teilchen sind für jeden Beobachter Geraden in der Raumzeit.
Folglich werden Dreiecke, die von drei sich schneidenden Geraden gebildet werden, auf
Dreiecke abgebildet. Da Dreiecke von Differenzvektoren u und v aufgespannt werden,
wobei für die dritte Seite w = u+v gilt, gilt L(u+v) = L(u)+L(v) für die transformierten
Seiten. Wegen L(u + u) = L(u) + L(u) gilt L(n u) = n L(u) für ganzzahlige n, aus
L(u) = L(n (1/n u)) = n L(1/n u) folgt L(a u) = a L(u) für rationales a und, weil L
stetig ist, für jedes reelle a. Also ist L linear.
Die Koordinaten y ′ und z ′ sind Linearkombination von t, x, y und z, die für beliebige
t und x verschwinden, wenn das Ereignis E in der Ebene y = z = 0 liegt. Daher hängen
sie nicht von t und x ab y ′
z ′=a b
(3.5)
c dy z.
Ebenso sind t ′ = (t − vx)/ √ 1 − v 2 + ey + fz und x ′ = (−v t + x)/ √ 1 − v 2 + gy + hz
Linearkombinationen, die für y = z = 0 mit (3.4) übereinstimmen.
Die Lorentztransformation muß Längenquadrate invariant lassen (2.36). Denn die Zeit,
die auf einer gleichförmig bewegten Uhr zwischen O und E vergeht, hängt nicht vom
Beobachter ab. Da sich das Skalarprodukt als Differenz von Längenquadraten schreiben
läßt (2.46), müssen Lorentztransformationen alle Skalarprodukte invariant lassen.
Daher verschwinden die Koeffizienten e, f, g, h. Denn die Vektoren ( √ 1 − v 2 , 0, 0, 0),
(0, √ 1 − v 2 , 0, 0), (0, 0, 1, 0) und (0, 0, 0, 1) stehen aufeinander senkrecht. Diese Vektoren
haben für B ′ die Komponenten (1, −v, 0, 0), (−v, 1, 0, 0), (e, g, a, c) und (f, h, b, d) und
die ersten beiden müssen auf den letzten beiden senkrecht stehen.
Also gelten (3.4) und (3.5) für beliebige (t, x, y, z), wobei (3.5) noch dadurch eingeschränkt
ist, daß alle Längenquadrate invariant sind,
(ay + bz) 2 + (cy + dz) 2 = (a 2 + c 2 )y 2 + 2(ab + cd)yz + (b 2 + d 2 )z 2 = y 2 + z 2 . (3.6)
Dies gilt genau dann für alle y und z, wenn a2 +c2 = 1, ab+cd = 0 und b2 +d2 = 1 erfüllt
sind. Wegen ab + cd = 0 ist (b, d) ein Vielfaches von (−c, a), wegen a2 + c2 = b2 + d2 kann nur (b, d) = ±(−c, a) gelten, und wegen a2 +c2 = 1 lassen sich a und c als Kosinus
und Sinus eines Winkels ϕ schreiben. Daher ist die Lorentztransformation in der zur
Bewegungsrichtung senkrechten Ebene eine Drehspiegelung oder eine Drehung
y ′
z ′=cosϕ − sin ϕ
(3.7)
sin ϕ cos ϕy z.
3.1 Lorentztransformation von Koordinaten 41
Falls ϕ = 0 ist, nennt man die Lorentztransformation drehungsfrei.
t ′ =
t − v x
√
1 − v2 , x′ −v t + x
= √
1 − v2 , y′ = y , z ′ = z (3.8)
In Matrixschreibweise lautet sie einschließlich der konventionellen Faktoren c
c t ′
x ′
y ′
z ′á=1 1− v2
v
c
c21− −v âcá. t
11
c
x
(3.9)
y
1 z
Diese Lorentztransformation ist als passive Transformation zu lesen, die den Zusammenhang
der Koordinaten beschreibt, die B und B ′ für Ereignisse E verwenden. Sie
verändert nicht die Ereignisse. Als aktiv bezeichnet man diejenigen Transformationen,
die Ereignisse auf andere Ereignisse abbilden. Dreht man in (3.9) das Vorzeichen der
Geschwindigkeit v um, so erhält man die Matrix der Lorentztransformation, die aktiv
die Weltlinie eines ruhenden Teilchens im unveränderten Koordinatensystem auf die
Weltlinie eines Teilchens abbildet, das sich mit Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt.
Wenn man bei einer Drehung um eine Achse den Drehwinkel α stetig von Null bis zu
einem Wert α vergrößert und dabei die Auswirkung
auf einen Punkt x betrachtet, so durchläuft der Punkt
Dαx = x(α) einen Kreisbogen, denn Drehungen lassen
den Abstand zur Achse ungeändert. Ebenso durchlaufen
im Diagramm 3.2 Punkte in der Raumzeit Hyperbeln,
wenn man auf die Punkte Lorentztransformationen
Lv anwendet, deren Geschwindigkeiten Werte
von Null bis v, |v| < 1, durchlaufen. Denn Lorentztransformationen
lassen das Längenquadrat t
Abbildung 3.2: Lorentzfluß
2 −
x2 − y2 − z2 invariant. Insbesondere werden lichtartige
Vektoren in der t-x-Ebene gestreckt oder gestaucht.
Der Ursprung ist ein hyperbolischer Fixpunkt. Er wird
nicht wie bei Drehungen als Wirbel von Nachbarpunkten
umkreist, sondern wie ein Staupunkt umflossen.
Bezeichnen wir in (3.9) den Vierervektor (c t, x, y, z) kurz mit x und die 4 ×4 Lorentzmatrix
mit Λ, so schreibt sich die Lorentztransformation als
x ′ = Λ x . (3.10)
Umgekehrt gilt x = Λ −1 x ′ , und wir erhalten die Koordinaten (c t, x, y, z) aus den Koordinaten
(c t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) durch Multiplikation mit der inversen Lorentzmatrix. Dies ist bei
drehungsfreien Lorentztransformationen die ursprüngliche Lorentzmatrix, in der v durch
−v ersetzt ist.
Allgemeiner kann sich bei einer Lorentztransformation der Beobachter B ′ mit Geschwindigkeit
v in eine beliebige Richtung bewegen, und seine räumlichen Bezugsrichtungen
können gegenüber B verdreht sein. Die Matrix solch einer Lorentztransformation