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190 8 Dynamik der Gravitation Dies ergibt die Integrationskonstanten c − = 0 , c + = (1 + cosθ)(h cos(2ϕ) + k sin(2ϕ)) , c 1 = − 1 2 sin θ(h cosϕ + k sin ϕ) , c2 = − 1 sin θ(−h sin ϕ + k cos ϕ) , 2 (8.163) wobei h = h(x(0)) und k = k(x(0)) die Werte von h und k beim Start des Lichtstrahls bezeichnen. Wir setzen in (8.161) ein und integrieren ein zweites Mal über λ. Auf der rechten Seite ersetzen wir mit (1 − cosθ)dλ = dx− dλ dλ = dx− die Integrationsvariable x − δx − = 0 , δx + 1 + cosθ = 1 − cosθ x− dx((h − h) cos(2ϕ) + (k − k) sin(2ϕ)) , δx 1 sin θ x− = 1 − cosθ x− dx( (h − 1 1 h) cosϕ + (k − k) sin ϕ) , 2 2 δx 2 sin θ x− = 1 − cosθ x− dx(−(h − 1 1 h) sin ϕ + (k − k) cosϕ) . 2 2 (8.164) Die Änderung des Lichtstrahls hat zur Folge, daß er erst beim Parameterwert λ = l+δλ die Spiegelebene {y : (y−x)ón = l} erreicht. Wir setzen y = x+δx = x+(l+δλ)n+δx(l) ein und lösen nach δλ auf −δλ = δx+ − δx − 2 cosθ + sin θ(δx 1 cos ϕ + δx 2 sin ϕ) . (8.165) Damit erhalten wir schließlich die Laufzeitveränderung ∆1x 0 = dx0 dλ δλ + δx0 = δλ + δx 0 während des Hinweges, wobei x 0 = 1 2 (x+ − x − ) und x − (l) = x − = l(1 − cosθ) + x − ist, ∆1x 0 1 + cos θ x− +l(1−cos θ) = − 2 x− dx (h(x) cos(2ϕ) + k(x) sin(2ϕ)) . (8.166) Der Rückweg verläuft in umgekehrter Richtung θ ′ = π − θ, ϕ ′ = ϕ + π. Auf ihm ändert sich die Laufzeit folglich um ∆2x 0 1 − cosθ x− +2l = − 2 x− dx (h(x) cos(2ϕ) + k(x) sin(2ϕ)) . (8.167) +l(1−cos θ) Ist das Interferometer kurz im Vergleich zur Wellenlänge der Gravitationswelle, dann kann man die beiden Integrale mit dem Zwischenwertsatz nähern: das Integral für ∆1x 0 ist Intervallänge l(1 − cosθ) mal einem Zwischenwert des Integranden und es gilt etwa x+l(1−cos θ) x dx (h(x) . . . ) ≈ (1 − cosθ) x+l x dx (h(x) . . .) . (8.168) Entsprechendes gilt für ∆2x 0 . Zusammengenommen ist ∆τ = ∆1x 0 + ∆2x 0 etwa ∆τ ≈ −H(t, l) a+(θ, ϕ) − K(t, l) a×(θ, ϕ) (8.169) wobei die Funktionen H(t, l) = 1 2 8.10 Nachweis von Gravitationswellen 191 t t−2l dxh(x) , K(t, l) = 1 2 t t−2l dxk(x) (8.170) die Amplituden der Gravitationswelle über die Laufzeit im Interferometer integrieren und die Winkelabhängigkeit durch Produkte der Komponenten des Richtungsvektors n gegeben ist a+(θ, ϕ) = nxnx − nyny = sin 2 θ cos(2ϕ) , a×(θ, ϕ) = 2nxny = sin 2 θ sin(2ϕ) . (8.171) Dies Ergebnis für ∆τ behält seine Form, wenn der Lichtstrahl mehrfach im Interferometer gespiegelt wird, bevor man das Interferenzbild ausliest. Gegenüber Licht in einem gleichlangen, zweiten Interferometerarm in Richtung (θ ′ , ϕ ′ ) ist die Laufzeit um δτ verschoben, δτ ≈ −H(t, l)a+(θ, ϕ) − a+(θ ′ , ϕ ′ )−K(t, l)a×(θ, ϕ) − a×(θ ′ , ϕ ′ ). (8.172) Daher beobachtet man eine zeitliche Änderung der Interferenz beider Strahlen dδτ dt − h(t − 2l) a+(θ, ≈ −h(t) ϕ) −a+(θ 2 ′ , ϕ ′ )− k(t) − k(t − 2l) a×(θ, ϕ) −a×(θ 2 ′ , ϕ ′ ). (8.173) Dieses Detektorsignal ist proportional zur Amplitude der Gravitationswelle. Es wird nicht ein Energieübertrag von der Gravitationswelle auf den Detektor gemessen, er wäre quadratisch in h und k, sondern die Änderung der Phasenverschiebung der Lichtstrahlen. Daher nimmt die Empfindlichkeit des Detektors als Funktion des Abstands r zur Quelle der Gravitationswelle wie 1/r und nicht wie 1/r 2 ab. Es gibt eine für den Gravitationswellennachweis optimale Verweildauer des Lichts im Detektor, nämlich die halbe Schwingungsdauer der Gravitationswelle. Bei längerer Verweildauer vermindert sich das Signal wieder. Das gleiche Verschwinden des Signals bei langer Wechselwirkungsdauer ergibt eine feldtheoretische Rechnung. Die Wechselwirkung von Licht und Gravitationswelle ist in niedrigster Ordnung durch die Entwicklung von WMaxwell (7.62) gegeben WPhoton, Graviton = 1 8πc d 4 x ¯ h mn (FmkFn k − 1 4 ηmnFrsF rs ) . (8.174) Sie erlaubt die Absorption eines Gravitons durch ein Photon, das dadurch in ein Photon mit geändertem Impuls und Energie übergeht. Wäre die Wechselwirkungszone von Licht und Gravitationswelle groß und die Wechselwirkungsdauer lang, so gäbe es Impulserhaltung und Energieerhaltung. Aber dann wäre solch eine Absorption unmöglich, denn Photonen und Gravitonen sind masselos und die Summe der Viererimpulse masseloser Teilchen hat eine positive Masse (3.57), gehört also nicht wieder zu einem Photon. Dauert die Wechselwirkung nur eine halbe Schwingungsdauer der Gravitationswelle, so ist die Energieunschärfe von der Größenordnung der Energie ω des Gravitons und die Absorption eines Gravitons ist möglich.
192 8 Dynamik der Gravitation Auch wenn diese Begriffe zur Quantenmechanik gehören und auch wenn wir heutzutage Quantenphysik und Allgemeine Relativitätstheorie nicht gemeinsam verstehen, so ist die Betrachtung dennoch gerechtfertigt: sie macht nur davon Gebrauch, daß Elektrodynamik und Allgemeine Relativitätstheorie Feldtheorien sind und hängt nicht daran, ob das Feld Quanten erzeugt und vernichtet. Anhang
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Geometrie der Relativitätstheorie
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ii Im vierten Kapitel stellen wir d
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vi Inhaltsverzeichnis Bewegtes Line
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x Inhaltsverzeichnis G.3 Eichsymmet
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4 1 Die Raumzeit Gerade Weltlinien
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8 1 Die Raumzeit Für jedes Ereigni
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12 1 Die Raumzeit Ist für einen Be
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16 1 Die Raumzeit mag, in den Zusta
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20 2 Zeit und Länge B S U tudinale
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24 2 Zeit und Länge Geschwindigkei
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28 2 Zeit und Länge B0 S Bv τ τ
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32 2 Zeit und Länge Folglich verge
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36 2 Zeit und Länge der zueinander
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40 3 Transformationen Dies ist im M
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4 Relativistische Teilchen 4.1 Besc
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72 4 Relativistische Teilchen Die E
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76 4 Relativistische Teilchen Der V
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80 5 Elektrodynamik dessen Komponen
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84 5 Elektrodynamik ist die Energie
Seite 51 und 52: 88 5 Elektrodynamik Daher ist nach
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Seite 55 und 56: 96 5 Elektrodynamik Kugelwellen Da
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Seite 59 und 60: 104 5 Elektrodynamik Um den Sachver
Seite 61 und 62: 108 5 Elektrodynamik Das Integral
Seite 63 und 64: 112 5 Elektrodynamik Antisymmetrisi
Seite 65 und 66: 116 5 Elektrodynamik und in eigenen
Seite 67 und 68: 6 Teilchen im Gravitationsfeld 6.1
Seite 69 und 70: 124 6 Teilchen im Gravitationsfeld
Seite 79 und 80: 144 7 Äquivalenzprinzip es verschw
Seite 81 und 82: 148 7 Äquivalenzprinzip definiert
Seite 83 und 84: 152 7 Äquivalenzprinzip Multiplizi
Seite 85 und 86: 156 7 Äquivalenzprinzip Kegelabsch
Seite 87 und 88: 160 7 Äquivalenzprinzip Amplitude
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Seite 93 und 94: 172 8 Dynamik der Gravitation der v
Seite 95 und 96: 176 8 Dynamik der Gravitation im St
Seite 97 und 98: 180 8 Dynamik der Gravitation dabei
Seite 99 und 100: 184 8 Dynamik der Gravitation Thirr
Seite 101: 188 8 Dynamik der Gravitation 8.10
Seite 105 und 106: 196 A Strukturen auf Mannigfaltigke
Seite 119 und 120: 224 B Liegruppe und Liealgebra Der
Seite 121 und 122: 228 B Liegruppe und Liealgebra Er s
Seite 123 und 124: 232 B Liegruppe und Liealgebra ist
Seite 125 und 126: 236 C Elementare Geometrie Hierbei
Seite 127 und 128: 240 C Elementare Geometrie und dara
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Seite 135 und 136: 256 C Elementare Geometrie In Ordnu
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292 E Konforme Abbildungen mit w =
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296 F Einige Standardformen der Met
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304 G Die Noethertheoreme Der Strom
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312 G Die Noethertheoreme identisch
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J Das Schursche Lemma Eine Menge vo
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324 Literaturverzeichnis [15] Norbe
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Index Symbole Fmn 92,247 Gkl 163 Mt
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332 Index Noethertheorem 65-67,301-
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