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256 C Elementare Geometrie
In Ordnung s 2 heben sich in den Gleichungen (C.137) die symmetrischen Anteile
Γkl m +Γlk m der Konnektion weg. Für die Torsion Tkl m = Γkl m −Γlk m verwenden wir die
Kurzschrift Tab c = Tkl m ea k eb l ec n gmn. Dann besagt (C.137) in quadratischer Ordnung
δni = (λ2 − λ ′ 2 )ni − 2n j ωji + T0j in j , λ2 + λ ′ 2 = 2nj ωj0 − T0i 0n i . (C.139)
Der reflektierte Lichtstrahl kommt jeweils aus derselben Richtung zurück, und das
Bezugssystem ist drehungsfrei, wenn die Gleichung δn i = 0 für alle Richtungen n i gilt.
Wir zerlegen T0i j = Sij + Aij in den symmetrischen und antisymmetrischen Teil
Sij = 1
2 (T0i j + T0j i) , Aij = 1
2 (T0i j − T0j i) . (C.140)
Die Gleichung δn i = 0 für alle Richtungen n besagt, daß n j (Sji+Aji−2ωji+(λ2−λ ′ 2)δji) =
0 für alle n j verschwindet, daß also die Matrixgleichung Sji+Aji −2ωji+(λ2 −λ ′ 2 )δji = 0
gilt.
Es muß also beim drehungsfreien Transport des Vierbeins ωij so gewählt werden,
daß ωij = 1
2Aij gilt. Zudem muß Sji ein Vielfaches von δji sein, Sji = (λ ′ 2 − λ2)δji.
Verschwindet der symmetrische, spurfreie Teil von T0i j nicht, so kann man nicht durch
Wahl des Bezugssystems Drehungsfreiheit bezüglich aller Achsen sicherstellen.
Der symmetrische, spurfreie Teil von T0i j verschwindet für alle Beobachter, das heißt
für alle Tangentialvektoren e0 und darauf senkrechten Vektoren ei, genau dann, wenn,
wie wir ohne Beweis angeben, die Torsion die Form Tab c = ηcaub − ηcbua + εabcdvd hat.
Falls die Torsion verschwindet, so ist das Bezugssystem drehungsfrei, wenn ωij = 0
für i, j ∈ {1, 2, 3} gilt und das Vierbein die Gleichungen des Fermi-Walker-Transports
erfüllt,
δe0
δs = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3 , δe1
δs = b1e0 , δe2
δs = b2e0 , δe3
δs = b3e0 . (C.141)
Fermi-Walker-Transport längs einer Weltlinie ändert das Vierbein über Paralleltransport
hinaus durch die drehungsfreie Lorentztransformation, die den zum Nachbarort parallel
verschobenen Tangentialvektor in den dortigen Tangentialvektor transformiert.
Demgegenüber verdrehte räumliche Richtungen êi = Oijej, Oji = O −1 ij, genügen dem
Differentialgleichungssystem
δe0
δs = ˆ biêi ,
δêi
δs = ˆ bie0 + ωijêj
mit ˆ bi = Oijbj und rotieren mit der Winkelgeschwindigkeit
Ω i = 1
2 εijk ωjk , ωij =d
ds OikOjk
um die drehungsfrei transportierten Richtungen.
(C.142)
(C.143)
D Die Lorentzgruppe
D.1 Drehungen
Drehspiegelungen D : V → V sind lineare Transformationen eines d-dimensionalen,
Euklidischen Vektorraums V, die das Skalarprodukt uóv = u i v i aller Vektoren, also
Längen und Winkel, invariant lassen
D i ju j D i kv k = u j δjkv k . (D.1)
Dies ist genau dann der Fall, wenn die Orthogonalitätsrelation (B.54)
D i jD i k = δjk
(D.2)
gilt, die besagt, daß die Spalten der Matrix D die Komponenten von orthonormalen
Vektoren sind, oder, als Matrixeigenschaft formuliert, wenn die transponierte Matrix
D T , D T j i = D i j, die inverse Matrix ist,
D T D = 1 . (D.3)
Insbesondere gilt (det D) 2 = 1 wegen det D T = det D und wegen des Determinantenproduktsatzes.
Die Determinante von D ist also entweder 1 oder −1.
Die Drehspiegelungen bilden die Gruppe O(d) der orthogonalen Transformationen
in d Dimensionen. Als Drehungen bezeichnen wir die orientierungstreuen, orthogonalen
Transformationen mit det D = 1. Sie bilden die Untergruppe SO(d) der speziellen
orthogonalen Transformationen, deren Determinante den Wert 1 hat.
Da die Determinante eine stetige Funktion der Matrixelemente ist, gibt es keine stetig
von einem Parameter λ abhängende Schar von Drehspiegelungen Dλ mit det Dλ=0 = 1
und det Dλ=1 = −1: Drehungen hängen nicht stetig mit Spiegelungen zusammen.
Jede Drehung kann durch Hintereinanderausführen einer infinitesimalen Drehung erzeugt
werden. Sie hängt demnach stetig mit der 1 zusammen. Folglich ist die Drehgruppe
zusammenhängend. Dies ergibt sich aus der Eigenwertgleichung
Dw = λw , w = 0 , (D.4)
von Drehspiegelungen D. Die Eigenwerte λ müssen die charakteristische Gleichung
det(D − λ1) = 0 (D.5)
lösen. Dies ist für reelle d × d-Matrizen D eine polynomiale Gleichung vom Grad d mit
reellen Koeffizienten und mit d nicht notwendig verschiedenen, komplexen Lösungen.
Dabei zählen wir jede reelle Lösung als, wenn auch spezielle, komplexe Lösung.