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138 6 Teilchen im Gravitationsfeld
Sie können daher bei r höchstens unter einem Winkel von
r − 1 r0 α(r) = arctan
4 r − + 1
27r
r03
r0
(6.98)
zur Vertikalen gesehen werden. Alle Lichtstrahlen von Objekten mit r > 3
2r0, zum Beispiel
der Sternenhimmel, werden von ruhenden Beobachtern bei r < 3
2r0 innerhalb des
Öffnungswinkels α(r) gesehen. Für r → r0 geht dieser Öffnungswinkel gegen Null, der
ganze sichtbare Sternenhimmel schrumpft auf einen Punkt zusammen so wie in einem
Tunnel das Licht vom Eingang. Diese Lichtstrahlen von entfernten Objekten sind gemäß
(6.78) zu Frequenzen ν(r) = ν(∞)/1 − r0
r
blauverschoben. Diese optischen Erschei-
nungen lassen sich auch als Aberration und Dopplereffekt eines Beobachters verstehen,
der sich relativ zu frei fallenden Beobachtern schnell bewegt. Ein bei r = r0 ruhender
Beobachter wäre lichtschnell ebenso wie nach oben abgestrahltes Licht.
Für einen bei r = 3
2 r0 ruhenden Beobachter nimmt der Sternenhimmel den halben
Raumwinkel und die Objekte innerhalb r = 3
2 r0 die andere Hälfte ein. Für Beobachter
bei r > 3
2 r0 kommen alle Lichtstrahlen, die von Objekten mit r < 3
2 r0 abgestrahlt werden,
aus einem Bereich mit Öffnungswinkel α(r). Für große Abstände r → ∞ erscheint der
Bereich um das Gravitationszentrum um √ 3 vergrößert; der Bereich innerhalb von 3
2r0 wird unter einem Winkel mit tan α → √ 3 3 r0
2 r gesehen.
Fallende Beobachter sehen eine durch Aberration verformte, durch den Dopplereffekt
verfärbte und durch beide Effekte in der Leuchtstärke abgeänderte Version des Bildes,
das ruhende Beobachter am selben Ort sehen. Beim Überqueren von r = r0 bleibt die
Frequenzverschiebung von Licht und der Raumwinkel des Sternenhimmels endlich.
Präzession
Für einen Beobachter, der eine Zentralmasse umkreist, ändern sich dauernd die Richtungen
der Sterne durch Parallaxe und Aberration, denn sein Ort und seine Geschwindigkeit
ändern sich auf der Kreisbahn. Nach einem vollständigen Umlauf sind drehungsfrei
transportierte Richtungen wie zum Beispiel Kreiselachsen gegenüber dem Fixsternhimmel
verdreht.
Der Vektor er zeigt in radiale Richtung, also im Gravitationsfeld nach oben, und
wird nur für r = 3
2r0 drehungsfrei zu er am benachbarten Punkt auf der Kreisbahn
transportiert, ebenso der Vektor eϕ, der in Bewegungsrichtung nach vorne zeigt. Wie
(6.89) zeigt, werden die Vektoren
drehungsfrei (C.141) verschoben
e1 = er cos Ωs − eϕ sin Ωs , e2 = er sin Ωs + eϕ cos Ωs (6.99)
δe0
δs = be1 cos Ωs + be2 sin Ωs ,
δe1
δs = be0 cos Ωs ,
δe2
δs = be0 sin Ωs . (6.100)
Bei Vernachlässigung gravitativer und relativistischer Effekte würde hier statt Ω die
Winkelgeschwindigkeit ω stehen, die sich für r0 = 0 als Grenzwert von Ω für kleine
6.6 Gewicht, Blickwinkel und Präzession 139
ω ergibt. Die drehungsfrei transportierten Richtungen e1 und e2 präzedieren also mit
Winkelgeschwindigkeit
dβ dβ Ω
= Ω − ω , = − 1 (6.101)
ds dϕ ω
rückwärts gegenüber den Richtungen, die ohne Gravitation und relativistische Effekte
drehungsfrei wären. Hat insbesondere nach einem Umlauf s um 2π/ω zugenommen, so
sind die drehungsfrei transportierten Vektoren e1 und e2 relativ zu den anfänglichen
Richtungen und den Fixsternen rückwärts um den Winkel β = 2π (Ω/ω − 1) verdreht.
Insbesondere tritt ohne Gravitation für r0 = 0 rückdrehende Präzession auf Bahnen
auf, deren Beschleunigungsrichtung sich dreht. Sie heißt Thomas-Präzession und beträgt
dβ
dϕ |r0 =0
= √ 1 + r2ω2 − 1 ≈ 1 r
2
2ω2 c2 . (6.102)
Wird die Kreisbahn mit ω = ωfrei (6.92) im freien Fall durchlaufen, spricht man von
geodätischer Präzession oder dem de Sitter-Effekt. Er bewirkt die Präzession von Kreiselachsen
um die Senkrechte der Bahnebene mit einer Geschwindigkeit von
dβ
=r0
ds |frei 2r31 − (1 − 3r0
2r )−12≈−
3c
r 3/2
0
4 √ . (6.103)
2 r5/2 Sie hat das entgegengesetzte Vorzeichen der Thomas-Präzession. Auf einer erdnahen
Kreisbahn sind die drehungsfreien Richtungen innerhalb eines Jahres um etwa 8,4 ′′ im
Umlaufsinn gegenüber den Fixsternen verdreht.
Frei fallende Zwillinge
Diejenige Weltlinie, auf der zwischen zwei zeitartig zueinander liegenden Ereignissen am
meisten Zeit vergeht, ist, wenn sie existiert, die Weltlinie eines frei fallenden Beobachters,
aber umgekehrt ist nicht unbedingt wahr, daß auf der Weltlinie jedes frei fallenden
Beobachters zwischen zwei Ereignissen mehr Zeit vergeht als auf jeder anderen Weltlinie,
die ebenfalls diese Ereignisse verbindet. Sind die Ereignisse weit entfernt, so kann auf
einer geodätischen Weltlinie durchaus weniger Zeit vergehen als auf einer beschleunigten.
Zum Beispiel durchlaufen ein ortsfester Beobachter mit Weltlinie
t(s ′ ), r(s ′ ), θ(s ′ ), ϕ(s ′ ′ 1
)=s √ r , r(0),
1− 0r
π
2 , 0 (6.104)
und ein Beobachter, der die Erde im freien Fall umkreist (6.86, 6.92), beide die Ereignisse
(0, r(0), π
π
, 0) und (2π a(r), r(0), , 0 ∼ 2π).
2 ω 2
Zwischen diesen Ereignissen vergeht auf der Kreisbahn die Zeit s = 2π,
mehr Zeit aber
ω
beim ortsfesten, nicht frei fallenden Beobachter,
s ′ = 2π
ω a(r)1 − r0
r = s √ 1 + r 2 ω 2 . (6.105)