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266 D Die Lorentzgruppe
Die lineare Transformation kσ ↦→ U( kσ)U † = k ′ σ ist eine Drehung k ↦→ k ′ = DU k.
Um dies nachzurechnen, schreiben wir (D.49) mit c = cos α
2
und s = sin α
2
kurz als
U = c − isnσ und zerlegen k = kn + k⊥ in einen zu n parallelen und einen senkrechten
Teil, K = K + K⊥, wobei K = knσ und K⊥ = k⊥σ ist.
Der Anteil K vertauscht mit jeder Potenzreihe von nσ, also mit U, und ist daher
invariant
UKU † = KUU † = K . (D.53)
Bei der Berechnung der Transformation von k⊥σ berücksichtigen wir, daß k⊥σ mit nσ
antivertauscht (D.47)
( k⊥σ)(nσ) = −(nσ)( k⊥σ) , (D.54)
weil k⊥ und n senkrecht aufeinander stehen. Mit (nσ) 2 = 1 und (D.47) erhalten wir
U( k⊥σ)U † = (c − isnσ)( k⊥σ)(c + isnσ) = (c − isnσ)(c − isnσ)( k⊥σ)
= U 2 ( k⊥σ) = (cosα − i sin αnσ)( k⊥σ) = (cosα k⊥ + sin αn × k⊥)σ .
(D.55)
α
−i Es bewirkt also U = e 2 nσ durch kσ ↦→ UkσU † = (DU k)σ die Drehung DU von Vektoren
k um die Achse n und den Winkel α
DU : k ↦→ k ′ = k + cosα k⊥ + sin αn × k⊥ . (D.56)
Umgekehrt gehört zu jeder Drehmatrix D mit Drehachse n und Drehwinkel α das
α
−i Paar unitärer Matrizen U = e 2 nσ α+2π
−i nσ und −U = e 2 .
Die infinitesimale Transformation α nj (− i
2σj ) erzeugt die Matrix U, mit anderen Wor-
α
−i ten U = e 2 nσ . Wie man mit (D.46) bestätigt, stellen die Basismatrizen − i
2σj der
infinitesimalen Erzeugenden die Liealgebra (D.19) infinitesimaler Drehungen dar
D.4 Die Gruppe SL(2, C)
[(− i
2 σi ), (− i
2 σj )] = ε ijk (− i
2 σk ) . (D.57)
Jede invertierbare, komplexe Matrix M kann eindeutig in ein Produkt einer unitären
Matrix U, U † = U −1 , und einer hermiteschen Matrix e H , H = H † , mit positiven Eigenwerten
zerlegt werden
M = Ue H . (D.58)
Denn die Gleichung
e 2H = M † M (D.59)
ist für hermitesches H = H † lösbar und legt H eindeutig fest: M † M ist hermitesch,
also diagonalisierbar, und hat positive Eigenwerte λ = e2h . Demnach existiert diejenige
hermitesche Matrix H = 1
2 ln M † M, die dieselben Eigenvektoren wie M † M hat und die
reellen Eigenwerte h. Die Matrix
U = Me −H
(D.60)
D.4 Die Gruppe SL(2, C) 267
ist unitär, wie (Me−H ) † (Me−H ) = e−HM † Me−H = e−He2He −H = 1 zeigt.
Weil jede invertierbare, komplexe Matrix M eindeutig zu einem Paar (U, H) einer unitären
und einer hermiteschen Matrix gehört, und weil die hermiteschen N ×N-Matrizen
einen reellen, N2-dimensionalen Vektorraum bilden, ist die Gruppe GL(N, C) der generellen
linearen Transformationen in N komplexen Dimensionen die Mannigfaltigkeit
U(N) × RN2. Wenn die Matrix M aus der Untergruppe SL(N, C) der speziellen linearen Transformationen
mit det M = 1 ist, dann verschwindet die Spur von H, trH = 0, denn es ist
det(e 2H ) = det(M † M) = 1, und det(e 2H ) ist das Produkt der Eigenwerte e 2h . Zudem
hat die Determinante von U den Wert 1, det U = det(Me −H ) = 1. Die Gruppe SL(N, C)
ist also die Mannigfaltigkeit SU(N) × R (N2 −1) .
Insbesondere ist SU(2) die Mannigfaltigkeit S 3 (D.43), und SL(2, C) ist die Mannigfaltigkeit
S 3 × R 3 .
Die eindeutige Zerlegung von Lorentztransformationen in orthogonale Transformationen
und drehungsfreie Lorentztransformationen (D.34) zeigt, daß die zeit- und raumorientierungstreuen
Lorentztransformationen SO(1, 3) ↑ die Mannigfaltigkeit SO(3) × R 3
bilden. Die Drehgruppe SO(3) ist S 3 /Z2. Also ist SL(2, C) die Überlagerungsmannigfaltigkeit
von SO(1, 3) ↑ .
Auch als Gruppe ist SL(2, C) die Überlagerung von SO(1, 3) ↑ . Das heißt: es gibt eine
vierdimensionale, reelle Darstellung von SL(2, C), die jeder komplexen 2×2-Matrix M
mit det M = 1 eine Lorentztransformation ΛM mit Λ 0 0 ≥ 1 und det Λ = 1 zuordnet
und mit der Gruppenverknüpfung verträglich ist, ΛM1M2 = ΛM1ΛM2. Die Darstellung
ist ausschöpfend, jede Lorentztransformation Λ mit Λ 0 0 ≥ 1 und det Λ = 1 läßt sich
als Darstellung ΛM einer komplexen Matrix M mit det M = 1 schreiben. Dabei ist das
Urbild von Λ eindeutig bis auf das Vorzeichen. Es gilt ΛM = ΛN genau dann, wenn
M = N oder M = −N ist.
Die zu M und −M gehörige Transformation ΛM ist die lineare Abbildung
ΛM : ˆ k ↦→ ˆ k ′ = Mˆ kM †
(D.61)
hermitescher 2 × 2-Matrizen ˆ k = ˆ k † auf hermitesche Matrizen ˆ k ′ . Sie sind reelle Linearkombinationen
ˆk = k m ηmnσ n =k 0 − k3 −k1 + ik2 −k1 − ik2 k0 + k3 (D.62)
der Matrix σ0 = 1 und der drei Pauli-Matrizen (D.44), bilden also einen vierdimensio-
nalen, reellen Vektorraum. Auch ˆ k ′ = ˆ k ′† ist hermitesch, ˆ k ′ = k ′ mηmnσn mit reellen k ′ m ,
und
k ′ m = Λ m nk n
(D.63)
ist linear in k mit reellen Matrixelementen Λ m n.
Die Matrizen Λ sind eine Darstellung der Gruppe SL(2, C), da ΛM1M2 = ΛM1ΛM2 für
hintereinander ausgeführte Transformationen gilt
ˆk ′′ = M1M2 ˆ kM †
2M †
1 ,
k ′′ m = (ΛM1) m rk ′ r = (ΛM1) m r(ΛM2) r nk n = (ΛM1M2) m nk n .
(D.64)