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124 6 Teilchen im Gravitationsfeld
Der Parameter r0 heißt Schwarzschildradius. Er ergibt sich als Integrationskonstante der
Einsteingleichungen und wird in Gleichung (6.23) mit der Masse, die das Gravitationsfeld
erzeugt, identifiziert. Ist die Zentralmasse so komprimiert, daß sie sich vollständig im
Inneren des Schwarzschildradius befindet, so kann sie, wie wir in Abschnitt 8.5 sehen
werden, kein Licht nach außen abstrahlen. Sie ist also schwarz und heißt Schwarzes
Loch. 3
Die Geodätengleichung der Schwarzschildmetrik ist lösbar, weil die Bahnen freier Teilchen
aus den Erhaltungssätzen konstruiert werden können.
Die Wirkung W[Γ] = −m c2 τ(Γ), Γ : s ↦→ x(s),
W[Γ] = −m c dsc2 (1 − r0
r ) ˙t 2 − ˙r 2 /(1 − r0
r ) − r2 ˙ θ2 − r2 sin 2 θ ˙ϕ 2 (6.16)
legt die Parametrisierung der Weltlinie Γ nicht fest (4.4). Wir wählen den Bahnparameter
s so, daß der Tangentialvektor ˙x = dx überall längs der Bahn dieselbe Länge c hat.
ds
c 2 (1 − r0
r ) ˙t 2 ˙r
−
2
(1 − r0
r ) − r2θ˙ 2 2 2 2 2
− r sin θ ˙ϕ = c (6.17)
Dann ist der Bahnparameter s die Zeit τ, die eine mitgeführte Uhr anzeigt.
Die Metrik ist drehinvariant. Das zeigt sich in Kugelkoordinaten daran, daß die ˙ θund
˙ϕ-Abhängigkeit des Längenquadrats r2˙ 2 2
θ + sin θ ˙ϕ 2genauso ist wie im flachen
Raum auf der Kugeloberfläche in Kugelkoordinaten und daran, daß die übrigen Terme
im Längenquadrat nicht von θ und ϕ abhängen. Wegen der Drehinvarianz der Wirkung
(6.16) ist nach Noethertheorem der Drehimpuls L = r × p erhalten. Da das Kreuzprodukt
senkrecht auf seinen Faktoren steht, also ró L = 0 gilt, und da L konstant ist,
liegt r immer in der Ebene, auf der L senkrecht steht. Die Bahnkurve ist also eben. In
Kugelkoordinaten heißt dies, daß die Bewegung nach Wahl der Koordinatenachsen in
der x-y-Ebene verläuft, also mit zeitlich konstantem
θ = π
. (6.18)
2
Es sind mit der Eigenschaft, daß die Bahnkurve eben ist, noch nicht alle Konsequenzen
der Drehinvarianz ausgewertet; ebene Bahnen würden schon aus konstanter Richtung des
Drehimpulses folgen. Daß auch der Betrag des Drehimpulses erhalten ist, zeigt sich daran,
daß die Wirkung (6.16) invariant unter Translationen von ϕ ist. Der Winkel ϕ ist eine
zyklische Variable. Der zu ϕ konjugierte Impuls ∂L , der Drehimpuls L in z-Richtung, ist
∂ ˙ϕ
zeitlich konstant (4.55) und hat bei unserer Wahl des Bahnparameters (6.17) den Wert
L = m r 2 ˙ϕ . (6.19)
Die Wirkung (6.16) ist nicht nur drehinvariant, sondern die Lagrangefunktion hängt
auch nicht von der Zeit t ab, es ist also auch t eine zyklische Variable, und das Negative
des dazu konjugierten Impulses ist erhalten
E = m c 21 − r0
r˙t . (6.20)
3 Reizvollerweise setzt sich der Name Schwarzschild aus Abschirmung und dem resultierenden Erschei-
nungsbild zusammen.
6.4 Periheldrehung 125
Die zu Zeittranslationen gehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß die Energie E.
Setzen wir (6.18), (6.19) und (6.20) in (6.17) ein und multiplizieren wir mit − m r0
(1− 2 r ),
so erhalten wir einen Energiesatz (4.60) für die Bewegung der Radialkoordinate r
1
2 m ˙r2 − m r0 c2 L2
+
2 r 2 m r2 − L2 r0
2 m r
m c2
− . (6.21)
2 m c2 2
3 = E2
Bis auf den 1
r3-Term im effektiven Potential, der die Drehimpulsbarriere L2
2 m r2 der Newtonschen
Physik in L2
2 m r21 − r0
rabändert, und bis auf die Benennung der Erhaltungsgröße,
ist dies der Energiesatz (4.76) für die Radialbewegung eines Teilchens mit Masse
m im Newtonschen Gravitationspotential 4 einer Zentralmasse M
1
2 m ˙r2 m M L2
− G +
r 2 m r2 = ENewton . (6.22)
−11 m3
Der Koeffizient G = 6,67ó10 kgósec 2 [1, 22] ist die Gravitationskonstante.
Bei großem Abstand von der Zentralmasse wird der Term − L2 r0
2 m r3 vernachlässigbar
und die Bahnen in der Schwarzschildmetrik stimmen mit den Bahnen im Newtonschen
Gravitationsfeld einer Zentralmasse M überein, wenn wir den Schwarzschildradius als
2 G M
r0 =
c2 (6.23)
identifizieren. Da Massen positiv sind, ist auch der Schwarzschildradius r0 positiv. Bei
der Sonne beträgt er r0|Sonne = 2,953ó10 3m, bei der Erde r0|Erde = 8,87ó10 −3m [1].
Der Energiesatz für die Radialbewegung im Gravitationsfeld einer Zentralmasse M
lautet nach Identifizierung des Schwarzschildradiusses in der Allgemeinen Relativitäts-
theorie
1
2 m ˙r2 m M L2
− G +
r 2 m r2 − G L2 M
m c2 r
6.4 Periheldrehung
m c2
− . (6.24)
2 m c2 2
3 = E2
Wegen des zusätzlichen 1
r 3-Terms ist die Gravitation in der Allgemeinen Relativitätstheorie
stärker anziehend als die Newtonsche Gravitation. Die Bahnkurven der Planeten
um die Sonne sind nur noch näherungsweise geschlossene Ellipsen r(ϕ) = a(1−e2 )
1+e cos ϕ (4.81)
mit großer Halbachse a und Exzentrizität e, auf denen r periodisch zwischen maximalem
Abstand r1 = a (1+e), dem Aphel, und minimalem Abstand r2 = a (1−e), dem Perihel,
hin und her pendelt. Es wird ein etwas größerer Winkel als δϕ = 2 π von Perihel zu
Perihel durchlaufen. Das Perihel verschiebt sich in Umlaufrichtung nach vorne.
Zur Berechnung der Periheldrehung [36] betrachten wir den Kehrwert der Radialko-
ordinate als Funktion von ϕ
u(ϕ) = r0
. (6.25)
r(ϕ)
4 1
Dies gilt nur im Grenzfall einer kleinen Masse m, genauer tritt in der kinetischen Energie 2 m ˙r2 der
radialen Relativbewegung der zwei Körper und in der Drehimpulsbarriere L2
Masse mred =
m M
m+M auf.
2 m r 2 statt m die reduzierte