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I Ableitung der Determinante
Jede lineare Transformation L bildet Basisvektoren ej, j = 1, 2, . . ., n, auf Vektoren
L : ej ↦→ L(ej) = eiL i j
ab. Dabei bezeichnet L i j die Matrixelemente der zu L und zur Basis ej gehörigen Matrix.
Sie enthält in der Spalte j die Komponenten des transformierten j-ten Basisvektors. Die
Vektoren L(ej) spannen ein Volumen auf, das proportional ist zu dem nichtverschwindenden
Volumen, das die Basisvektoren ej aufspannen. Der Proportionalitätsfaktor definiert
die Determinante von L
(I.1)
vol(L(e1), L(e2), . . .,L(en)) = det(L) vol(e1, e2, . . .,en) . (I.2)
Da Volumen linear in jedem seiner Argumente ist, können wir die Koeffizienten L i j
herausziehen und erhalten
vol(L(e1), L(e2), . . ., L(en)) = L i1 1L i2 2 . . .L in nvol(ei1, ei2, . . .,ein) . (I.3)
Das Volumen, das von einem Vektor mit sich selbst und weiteren Vektoren aufgespannt
wird, verschwindet
vol(e1, . . .,a, . . ., a, . . .,en) = 0 . (I.4)
Daraus folgt in Kombination mit der Linearität, daß das Volumen total antisymmetrisch
unter Vertauschung seiner Argumente ist (A.45), und daher
vol(ei1, ei2, . . .,ein) = εi1i2...invol(e1, e2, . . ., en) , (I.5)
wobei εi1i2...in total antisymmetrisch ist und ε12...n = 1 ist (A.60). Die Determinante von
L ist daher das folgende Polynom der Matrixelemente (B.60)
det L = εi1i2...inL i1 1L i2 2 . . .L in n . (I.6)
Allgemeiner gilt εi1i2...inL i1 j1L i2 j2 . . .L in jn = εj1j2...jn det L, denn beide Seiten sind total
antisymmetrisch. Für hintereinander ausgeführte lineare Transformationen A und B
ergibt sich hieraus unmittelbar der Determinantenproduktsatz, det(AB) = det Aódet B
und det L = det L T , denn εj1j2...jnL i1 j1L i2 j2 . . .L in jn = det L T εi1i2...in.
Durch Differenzieren folgt aus (I.6)
∂ det L
∂L i j
= εi1...ij−1 i ij+1...inL i1 1 . . .L ij−1 j−1L ij+1 j+1 . . .L in n =: M j i . (I.7)
Es ist Mj i bis auf das Vorzeichen (−1) i+j die Determinante derjenigen Untermatrix
von L, die man durch Weglassen der Zeile i und der Spalte j erhält. Wenn wir Mj i mit
Li l multiplizieren und über i summieren, dann erhalten wir wieder die Determinante,
wenn l = j ist. Im Fall l = j erhalten wir Null, weil in der Summe mit dem ε-Tensor
schon Lil l steht und ε total antisymmetrisch ist. Also ist die Ableitung der Determinante
einer Matrix ein Vielfaches der inversen Matrix
∂ det L
∂Li = M
j
j i = (det L) L −1j i , (I.8)
falls die inverse Matrix existiert. Die Ableitung der Determinante, der Minor von L mit
Matrixelementen M j i, ist polynomial in den Matrixelementen von L.
Für Matrizen L = 1 + N in der Umgebung der 1-Matrix heißt dies in erster Ordnung
det(1 + N) = 1 + N i ∂ det L
j
∂Li + O(N
j |L=1
2 ) = 1 + trN + O(N 2 ) , (I.9)
wie man auch direkt aus (I.6) schließen kann. Hat N spezieller Rang 1, läßt es sich also
als Produkt schreiben, Ni j = ui wj, so verschwinden wegen εij...k ui uj = 0 alle Beiträge
höherer Ordnung zur Determinante und es gilt
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L i j = δ i j + u i wj ⇒ det L = 1 + u i wi . (I.10)
Die Ableitung der Determinante einer einparametrigen Schar von Matrizen Lα ist nach
Kettenregel
∂
∂α Lij = det Lα L −1
α j ∂
i
∂α Lij . (I.11)
∂
∂α det Lα
∂ det Lα
=
∂Li j
Die Matrixelemente (L −1 ) i j der inversen Matrix sind rationale Funktionen der Matrixelemente
L m n der Matrix L. Ihre Ableitung
∂(L−1 ) i j
∂Lr = −(L
s
−1 ) i r(L −1 ) s j
(I.12)
erhält man, wenn man in der definierenden Relation L−1L = 1 die Matrizen variiert
(δL−1 )L + L−1δL = 0 und nach δL−1 auflöst
δL −1 = −L −1 (δL)L −1 . (I.13)
Als metrisches Volumenelement bezeichnet man √ g d n x, wobei
g = | detg..| , (g..)kl = gkl (I.14)
der Betrag der Determinante derjenigen Matrix g.. ist, deren Elemente die Komponenten
der Metrik sind. Die Ableitung von √ g nach den Koordinaten x k ist nach Kettenregel
√ 1
∂k g =
2 √ g g grs ∂kgrs = √ g Γkl l , (I.15)
wobei Γkl m das Christoffelsymbol (C.106) ist, das im metrikverträglichen, torsionsfreien
Paralleltransport auftritt. Daher gehört zu jedem kovariant erhaltenen Vektorstrom j m ,
Dmj m = 0, die Stromdichte √ g j m , die eine Kontinuitätsgleichung erfüllt,
√ g Dmj m = √ g∂mj m + Γmk m j k=∂m√ gj m. (I.16)