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262 D Die Lorentzgruppe
wobei wir abkürzend P = Ô−1C und Q = O−1B schreiben. S und ˆ S sind invertierbar
und symmetrisch, O und Ô sind orthogonale Matrizen. Gleichung (D.21) besagt
S 2 = 1 + P T P , SQ = P T ˆ S , ˆ S 2 = 1 + Q T Q . (D.29)
Setzen wir Q = S −1 P T ˆ S und S −2 = (1 + P T P) −1 in der letzten Gleichung ein, so folgt
ˆS 2 = 1 + ˆ SPS −1 S −1 P T ˆ S oder 1 = ˆ S −2 + P(1 + P T P) −1 P T . (D.30)
Was dies für ˆ S−2 besagt, finden wir heraus, indem wir die Matrizen auf eine Basis, nämlich
die Eigenvektoren w von PP T anwenden, PP Tw = λw. Wenn P Tw nicht verschwindet,
ist P Tw Eigenvektor von P TP, (P TP)P Tw = λP Tw, zu demselben Eigenwert.
Dann gilt
P(1 + P T P) −1 P T w = P 1
1 + λ P T w = λ
w . (D.31)
1 + λ
Dies gilt auch, wenn P T w verschwindet, denn dann ist PP T w = 0, also λ = 0. In (D.30)
eingesetzt ergibt sich 1
1+λ w = ˆ S −2 w oder ˆ S 2 w = (1 + λ)w. Also ist
ˆS 2 = 1 + PP T . (D.32)
Dies gilt auf Eigenvektoren von PP T angewendet. Da sie eine Basis in R q bilden, gilt
dies auch angewendet auf einen beliebigen Vektor, also als Matrixgleichung.
Aus gleichen Grund ist, angewendet auf Eigenvektoren von PP T und demnach für alle
Vektoren,
Q = S −1 P T ˆ S = √ 1 + P T P −1
P T √ 1 + PP T = P T . (D.33)
Also ist jede Lorentzmatrix eindeutig durch ein Paar von Drehspiegelungen O ∈ O(p),
Ô ∈ O(q) und eine drehungsfreie Lorentztransformation LP, LP = (LP) T , gegeben, die
durch eine Matrix P mit q Zeilen und p Spalten bestimmt ist
√
O
1 + P T T P P
Λ = LP , LP =
√ , (LP)
Ô
P 1 + PP T
−1 = L−P . (D.34)
Da q ×p Matrizen P den Vektorraum Rqp bilden, gehört zu jeder Lorentztransformation
genau ein Punkt in der Mannigfaltigkeit O(p) × O(q) × Rqp , die aus Tripeln (O, Ô, P)
besteht. Da Rqp zusammenhängend ist und die Drehspiegelungen jeweils zwei Zusammenhangskomponenten
haben, hat O(p, q) mit p > 0 und q > 0 genau vier Zusammenhangskomponenten.
Lorentztransformationen Λ mit det O = det Ô = 1 erhalten die Orientierung der
zeitartigen und der raumartigen Richtungen und bilden die eigentliche Lorentzgruppe
SO(p, q) ↑ â , die zusammenhängend ist. Die anderen Zusammenhangskomponenten von
O(p, q) erhält man durch Multiplikation mit der Zeitumkehr T und mit der Raumspiegelung
P, die eine ungerade Anzahl zeitlicher oder räumlicher Koordinaten spiegeln, sowie
mit T P. â,
1
..
T =−1
. ..
P =1
.
(D.35)
1
1
−1
D.2 Drehungsfreie Lorentztransformationen 263
Die Lorentztransformation LP wirkt jeweils in 1+1-dimensionalen Unterräumen Ui des
Minkowskiraumes R p,q , die zueinander senkrecht stehen, wie die Lorentztransformation
(3.4). Der zu diesen Unterräumen senkrechte Unterraum bleibt punktweise invariant.
Dies sieht man durch Betrachtung der Eigenvektoren wi von PP T . Sie stehen aufeinander
senkrecht, wenn sie zu verschiedenen Eigenwerten gehören, und können zueinander
senkrecht gewählt werden, wenn der Eigenwert entartet ist. Wir wählen sie zudem normiert
w T j wi = δij. Gleiches gilt für die Eigenvektoren von P T P, die durch P T wi/ √ λi
gegeben sind, wenn der zugehörige Eigenwert nicht verschwindet. Im weiteren bezeichne
wi einschränkender Eigenvektoren mit nichtverschwindendem Eigenwert.
Die Eigenvektoren uj von PP T zum Eigenwert 0, PP T uj = 0, werden schon von P T
vernichtet, P T uj = 0, denn aus PP T uj = 0 folgt u T j PPT uj = 0. Dies ist die Summe
der Quadrate der Komponenten von P T uj und verschwindet nur, falls P T uj = 0 ist.
Entsprechend gilt Pvk = 0 für Eigenvektoren vk von P T P zum Eigenwert 0.
Da die Eigenvektoren von PP T ebenso wie die Eigenvektoren von P T P aufeinander
senkrecht stehen, sind die N Vektoren des Minkowskiraumes
ti = 1
√ λiP T wi
0, xi =0
wi, nk =vk
0, mj =0
uj, (D.36)
ein Vielbein, also eine orthonormierte Basis.
Die Vektoren nk und mj werden von LP invariant gelassen. Die Punkte ati + bxi der
Unterräume Ui, die von ti und xi aufgespannt werden, transformieren ineinander
LPti =1 + λi ti +λi xi , LPxi =λi ti +1 + λi xi ,
LP(ati + bxi) = a ′ ti + b ′ xi ,a ′
b ′=√ √
1 + λi λi
√ √
λi 1 + λia b.
(D.37)
Dies sind zweidimensionale Lorentztransformationen wie in (3.4) mit Geschwindigkeit
v =
λi
. (D.38)
1 + λi
Beim Vorzeichen der Geschwindigkeit v ist zu beachten, daß (3.4) eine Koordinatentransformation
beschreibt und nicht eine Transformation von Punkten.
In der vierdimensionalen Raumzeit R 1,3 hat die drehungsfreie Lorentztransformation
(D.34) die Form
Lp = 1
0 p p
m
j
pi mδij + pipj p0
, p
+m
0 =m 2 + p 2 . (D.39)
Dabei haben wir die Komponenten der 3 × 1-Matrix P als p i /m, i = 1, 2, 3, bezeichnet,
die räumlichen Spalten zählen wir durch j, j = 1, 2, 3, ab. Die Koeffizienten bei δ ij und
p i p j sind dadurch bestimmt, daß die 3×3-Matrix, in der sie auftreten, auf Eigenvektoren
der Matrix PP T wie √ 1 + PP T wirkt. Da P einfach ein Spaltenvektor ist, sind dazu
senkrechte Vektoren Eigenvektoren von PP T zum Eigenwert 0, P ist Eigenvektor zum
Eigenwert λ = p 2 /m 2 .