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80 5 Elektrodynamik
dessen Komponenten wir der Übersichtlichkeit wegen in einer Matrix angeben
F00
á=0 F01 F02 F03
E
F10 F11 F12 F13
F20 F21 F22 F23
1 E2 E3 −E1 0 −B3 B2 −E2 B3 0 −B1 −E3 −B2 B1 á. (5.8)
0
F30 F31 F32 F33
Dann haben die homogenen Maxwellgleichungen die Form
und können in Indexschreibweise kurz als
∂1F23 + ∂2F31 + ∂3F12 = 0 ,
∂2F30 + ∂3F02 + ∂0F23 = 0 ,
∂3F01 + ∂0F13 + ∂1F30 = 0 ,
∂0F12 + ∂1F20 + ∂2F01 = 0
(5.9)
∂lFmn + ∂mFnl + ∂nFlm = 0 (5.10)
geschrieben werden. Die linke Seite dieser Gleichungen ändert wegen Fmn = −Fnm unter
jeder Paarvertauschung von Indizes ihr Vorzeichen, sie ist also total antisymmetrisch
unter Permutationen der Indizes. Die Gleichungen (5.10) bestehen nicht aus 4ó4ó4 unabhängigen
Komponentengleichungen, wie man bei drei Indizes l, m und n und einem
Laufbereich über vier Werte vermuten könnte, sondern l, m und n müssen in einer nichttrivialen
Gleichung paarweise verschieden sein und ihre Permutation führt nicht auf eine
neue Gleichung. Daher enthält (5.10) 4ó3ó2/3! = 4 unabhängige Gleichungen.
Die inhomogenen Maxwellgleichungen (5.4) lauten ausgeschrieben
∂1E 1 + ∂2E 2 + ∂3E 3 = 4π
cρ ,
c
−∂0E 1 + ∂2B 3 − ∂3B 2 = 4π
c j1 ,
−∂0E 2 + ∂3B 1 − ∂1B 3 = 4π
c j2 ,
−∂0E 3 + ∂1B 2 − ∂2B 1 = 4π
c j3
(5.11)
oder, wenn wir die elektrischen und magnetischen Felder als Komponenten des Feldstärketensors
schreiben und zur Betonung der Struktur verschwindende Terme wie ∂0F00
einfügen
∂0F00 − ∂1F10 − ∂2F20 − ∂3F30 = 4π
c
cρ ,
−∂0F01 + ∂1F11 + ∂2F21 + ∂3F31 = 4π
c j1 ,
−∂0F02 + ∂1F12 + ∂2F22 + ∂3F32 = 4π
c j2 ,
−∂0F03 + ∂1F13 + ∂2F23 + ∂3F33 = 4π
c j3 .
(5.12)
5.2 Lokale Ladungserhaltung 81
Das Minuszeichen bei den Komponenten F01, F02 und F03 gehört zur Definition der
Komponenten des Feldstärketensors mit oberen Indizes 2
F mn = η mk η nl Fkl , F 00 = F00 , F 0i = −F0i , F i0 = −Fi0 , F ij = Fij , (5.13)
F 00 F 01 F 02 F 03
F 10 F 11 F 12 F 13
F 20 F 21 F 22 F 23
F 30 F 31 F 32 F 33á=0 −E1 −E2 −E3 E1 0 −B3 B2 E2 B3 0 −B1 E3 −B2 B1 á. (5.14)
0
Damit haben die inhomogenen Maxwellgleichungen die Form
∂0F 00 + ∂1F 10 + ∂2F 20 + ∂3F 30 = 4π
cρ ,
c
∂0F 01 + ∂1F 11 + ∂2F 21 + ∂3F 31 = 4π
c j1 ,
∂0F 02 + ∂1F 12 + ∂2F 22 + ∂3F 32 = 4π
c j2 ,
∂0F 03 + ∂1F 13 + ∂2F 23 + ∂3F 33 = 4π
c j3 .
(5.15)
Lesen wir j 0 = cρ als Komponente der Viererstromdichte j = (j 0 , j 1 , j 2 , j 3 ), so lauten
die inhomogenen Maxwellgleichungen in Indexschreibweise
5.2 Lokale Ladungserhaltung
∂mF mn = 4π
c jn . (5.16)
Weil F mn = −F nm antisymmetrisch unter Vertauschung der Indizes ist und weil zweifache
partielle Ableitung, wenn sie stetig ist, nicht von der Reihenfolge der Ableitungen
abhängt, ∂n∂m = ∂m∂n, verschwindet die Doppelsumme ∂n∂mF mn .
Denn es gilt allgemein, daß eine Doppelsumme über ein symmetrisches und ein antisymmetrisches
Indexpaar verschwindet
Trs mn = −Trs nm = Tsr mn ⇒ Tkl kl = 0 . (5.17)
Der Sachverhalt gilt, egal ob Trs mn = SrsAmn aus Produkten zusammengesetzt ist oder
ob die Indizes Differentationen benennen Trs mn = ∂r∂sF mn oder ob die Koeffizienten
mnb3...bo
Trsa3...au weitere Indizes haben. Die Doppelsumme verschwindet, weil sie nach
Permutieren und Umbenennen der Summationsindizes ihrem Negativen gleich ist,
Tkl kl = Tlk kl = −Tlk lk = −Tlm lm = −Tkm km = −Tkl kl . (5.18)
Eine einfache Folge dieser Überlegungen ist, daß die Doppelsumme TmnS mn über ein
symmetrischen Indexpaar S mn = S nm in den Summationsindizes symmetrisiert,
TmnS mn = 1
2 (Tmn + Tnm)S mn , (5.19)
2 η mn sind die Matrixelemente der zu η inversen Matrix. Sie stimmen mit ηmn (4.107) überein.