papiersparender pdf-Version

238 C Elementare Geometrie
Holonomiegruppe
Paralleltransport längs geschlossener Kurven Γ, die von einem Punkt A wieder zu A zurückführen,
definiert lineare Abbildungen der Vektoren v auf Vektoren PΓv in demselben
Vektorraum. Die Abbildungen können hintereinander ausgeführt und invertiert werden;
sie bilden also eine Gruppe G, die Holonomiegruppe des Punktes A. Schreiben wir diese
Abbildungen für Basisvektoren als
PΓea = M −1
Γ a b eb , (C.26)
so genügt das Matrixprodukt der dabei auftretenden Matrizen MΓ dergleichen Gruppenverknüpfung
wie hintereinander ausgeführte Parallelverschiebung. Denn setzt sich
ein geschlossener Weg Γ = Γ2 ◦ Γ1 aus hintereinander durchlaufenen, geschlossenen Wegen
Γ1 und Γ2 zusammen, so gilt wegen
PΓ2◦Γ1ea =PΓ2PΓ1ea = PΓ2M −1
Γ1 abeb = M −1
Γ1 abPΓ2eb =
=M −1
Γ1 abM −1
Γ2 bcec = (M −1 −1
Γ1 MΓ2 )a c ec = (MΓ2MΓ1) −1 a b eb
MΓ2◦Γ1 = MΓ2MΓ1 . (C.27)
Der Paralleltransport um ein infinitesimales Flächenelement mit Kanten u und v ergibt
eine Holonomietransformation 1 + δ aus der Umgebung des Einselementes
der Holonomiegruppe. Also ist w − R(u, v, w) von der Form (1 + δ)w, das heißt,
−R(u, v, w) = δw ist eine infinitesimale Holonomietransformation, angewendet
auf w.
Die infinitesimalen Transformationen δ wirken linear auf Vektoren w und bilden
eine Liealgebra. Mit einer Basis δi, i = 1, . . .,dim(G), schreibt sich R(u, v, w) daher als
R(u, v, w) = −R(u, v) i δiw , δiea = −Ti a b eb , (C.28)
wobei die Koeffizienten Ti a b Elemente von Matrizen Ti sind, die dieselben Kommutatorrelationen
wie die Basis δi erfüllen (B.11). Die Komponenten des Riemanntensors
R(u, v, w) = Rab c d u a v b w c ed sind Linearkombinationen von Darstellungsmatrizen Ti
Rab c d = Rab i Ti c d . (C.29)
Die Basis ea kann so gewählt werden, daß die Matrizen Ti x-unabhängig sind (C.87).
Ist für die Vektoren eine zusätzliche Struktur definiert, zum Beispiel ihre Länge, und ist
der Paralleltransport damit verträglich und erhält er Länge, so ist die Holonomiegruppe
eine Untergruppe der linearen Transformationen, die Länge erhält, also eine Untergruppe
der Drehgruppe oder der Lorentzgruppe. Die infinitesimalen Transformationen δi und
die Matrizen Ti spannen die zugehörige Liealgebra und ihre Darstellung auf.
Die Holonomiegruppe, die durch Paralleltransport von einem Punkt B längs geschlossener
Wege zurück zu B erzeugt wird, ist der Holonomiegruppe des Punktes A isomorph,
wenn A und B durch einen Weg ΓAB von B nach A zusammenhängen. Denn ist ΓAA
ein geschlossener Weg von A nach A, so ist ΓBB = Γ −1
AB ◦ ΓAA ◦ ΓAB ein Weg, der bei B
anfängt und endet.
C.3 Kovariante Ableitung
C.3 Kovariante Ableitung 239
Verschiebt man ein Tensorfeld T(x) vom Ort x parallel an den benachbarten Ort x+U, 2
so definiert die Differenz zu T(x + U) in erster Ordnung in U die kovariante Ableitung
DUT des Tensors T längs des Vektors U
DUT(x) = T(x + U) − PUT(x) . (C.30)
Die kovariante Ableitung von Tensoren längs U ist linear
erfüllt die Produktregel
DU(T + S) = DUT + DUS , DUcT = cDUT ∀c ∈ R , (C.31)
und stimmt auf Skalarfeldern f (A.7) mit der Ableitung
DU(TS) = (DUT)S + T(DUS) (C.32)
DUf = U(f) = U m ∂mf (C.33)
überein. Insbesondere gilt für das Produkt eines Skalarfelds f mit einem Tensor T
DU(fT) = U(f)T + fDUT . (C.34)
Die kovariante Ableitung eines Tensors T längs U ist an jedem Punkt linear im Vektor U
DU+V T = DUT + DV T , DfUT = fDUT . (C.35)
Sie definiert daher durch (DUT)(V, . . .) = DT(U, V, . . .) einen Tensor DT, die kovariante
Ableitung von T, die ein Vektorargument mehr hat als der Tensor T.
Wir schreiben kürzer DaT(V, . . .) für die kovariante Ableitung DT(ea, V, . . .). Aus der
Definition der Parallelverschiebung (C.3) und der kovarianten Ableitung folgt
Daeb = ωa b c ec , ωa b c = ea m ωm b c . (C.36)
Hieraus ergibt sich die kovariante Ableitung DUT(V, . . .) = U a DaT(V, . . .) längs eines
beliebigen Vektors U = U a ea, denn DU ist linear in U.
Mit der Produktregel folgt die kovariante Ableitung DaV eines Vektorfeldes V = V b eb
längs des Vektorfeldes ea = ea m ∂m
Da(V b eb) = ea(V b ) eb + V b Daeb = ea m (∂mV b + ωm c b V c )eb . (C.37)
Der Tensor DV hat also Komponenten (DaV ) b = DV (ea, e b ) = ea m ∂mV b + ωa c b V c .
Ebenso ergibt sich aus (C.8) die kovariante Ableitung der dualen Basis
Dae b = −ωac b e c
(C.38)
2 Wir wählen in diesem Abschnitt Großbuchstaben zur Bezeichnung von Vektorfeldern, um sie von
Indizes von Komponenten zu unterscheiden.