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188 8 Dynamik der Gravitation
8.10 Nachweis von Gravitationswellen
Eine Gravitationswelle verändert richtungsabhängig die Laufzeit von Licht zwischen ruhenden,
unbeschleunigten Teilchen. Um dies zu messen, hängt man in Detektoren wie
geo600 [56] oder ligo [57] Strahlteiler und Spiegel eines Interferometers im Schwerefeld
der Erde so auf, daß sie von störenden Erschütterungen genügend entkoppelt sind
und in Richtung des Lichtstrahls frei beweglich sind, oder man läßt sie bei lisa [58]
auf Satelliten, abgeschirmt vom Sonnenwind, hinter der Erde die Sonne im freien Fall
umkreisen, wobei ihr gegenseitiger Abstand nahezu unverändert bleibt. Den darüber
hinausgehenden gravitativen Einfluß von Erde und Sonne auf den Detektor kann man
vernachlässigen: sie bewirken analog zur Lichtablenkung eine vernachlässigbar geringe
Δτ
T
x
x δx
S
Abbildung 8.3: Auswirkung
einer Gravitationswelle
1
2
gmn=
Ablenkung der Gravitationswelle.
In der folgenden Berechnung vereinfachen wir daher die
Weltlinien von Strahlteiler, Spiegel und Licht zu geodätischen
Weltlinien der Metrik (8.148) und bestimmen die
Auswirkung der Gravitationswelle in erster Ordnung in h
und k. Die Laufzeitänderung des Lichts, ∆τ, weist man
durch Interferenz mit einem zweiten Lichtstrahl nach, der
im zweiten Arm des Interferometers die Gravitationswelle
in einer anderen Richtung durchläuft.
So wie ein Magnetfeld nicht auf ruhende Ladungen
wirkt, so beeinflußt die Gravitationswelle nicht die Weltlinien
y(s) des ruhenden Spiegels S und des ruhenden
Strahlteilers T des Interferometers
(y − , y 1 , y 2 , y + ) = (s − a 3 , a 1 , a 2 , s + a 3 ) . (8.153)
Hierbei sind y − = t−z und y + = t+z Lichtkegelkoordinaten
und (a 1 , a 2 , a 3 ) sind die jeweiligen konstanten Ortskoordinaten.
Unabhängig von den Amplituden h und k der
Gravitationswelle sind (8.153) geodätisch, denn die Gra-
vitationswelle ist in mitfallenden Koordinaten (F.11) gegeben.
Explizit überprüft man die Geodätengleichung im Koordinatensystem (x − , x 1 , x 2 , x + )
mit der Metrik
1
2
−1 + h k
k −1 − h
á,g mn=
2
−1 − h
−k
−k
−1 + h
á,
2
(8.154)
wobei wir nur in erster Ordnung in h und k rechnen, und mit den Christoffelsymbolen
−Γ−1 1 = Γ−2 2 = − 1
2 Γ11 + = 1
2 Γ22 + = 1
Γ−1 2 = Γ−2 1 = 1
2 Γ12 + = − 1
2
dk
.
dx− dh
,
2 dx− (8.155)
8.10 Nachweis von Gravitationswellen 189
Ebenso bestätigt man in erster Ordnung in h und k, daß die Vektoren e−, e1, e2 und e+
mit Komponenten
ea m = δa m + δea m , δe− m = 0 , δe+ m = 0 ,
δe1 m = 1
2 (0, h, k, 0) , δe2 m = 1
(0, k, −h, 0)
2
(8.156)
längs der ruhenden Weltlinien y(s) parallel und drehungsfrei (C.141) verschoben werden
dea m
ds
+ dyl
ds Γln m ea n = 0 . (8.157)
Den Lichtstrahl x+δx vom Strahlteiler zu Spiegel zerlegen wir in die Weltlinie x(λ), die
er ohne Gravitationswelle durchlaufen würde
x m (λ) = x m (0) + λ(1 − cosθ, sin θ cosϕ, sin θ sin ϕ, 1 + cosθ) , (8.158)
und die von der Welle hervorgerufene Abweichung δx(λ), die wir in erster Ordnung
berechnen. Hierbei ist θ der Winkel zwischen der Richtung n des Lichtstrahls und der
Ausbreitungsrichtung der Gravitationswelle.
Die Geodätengleichung besagt für die Abweichung δx
d2δxm mdxk dx
= −Γkl
dλ2 dλ
l
. (8.159)
dλ
und δx kann durch zweifache Integration über λ berechnet werden. Wir setzen (8.155)
und dxk
dh dx− dh
ein und verwenden = dλ dλ dλ dx− = (1 − cos θ) dh
dx− d2δx− = 0 ,
dλ2 d2δx + d sin
=
dλ2 dλ
2 θ
1 − cosθ (h(cos2 ϕ − sin 2 ϕ) + 2k cosϕsin ϕ)) ,
d2δx1 d
= sin θ(h cosφ + k sin φ) ,
dλ2 dλ
d2δx2 d
= sin θ(−h sin φ + k cos φ) .
dλ2 dλ
Berücksichtigt man sin2 θ
1−cos θ
(8.160)
= 1 + cosθ und die Winkeladditionstheoreme der trigonometrischen
Funktionen, so erhält man nach Integration
dδx− dλ = c− dδx
,
+
dδx1 dλ = c1 + sin θ(h cosϕ + k sin ϕ) ,
dλ = c+ + (1 + cos θ)(h cos(2ϕ) + k sin(2ϕ)) ,
dδx 2
dλ = c2 + sin θ(−h sin ϕ + k cosϕ) .
(8.161)
Die Integrationskonstanten sind dadurch festgelegt, daß der Lichtstrahl unabhängig von
der Gravitationswelle im selben Ereignis startet, δx m (0) = 0, und daß die Gravitationswelle
auch nicht die anfängliche Richtung des Lichtstrahls, bezogen auf die drehungsfrei
transportierten Vektoren ea (8.156), ändert
dδxm dλ = dx
λ=0
a
dλ δea m = sin θ(δe1 m cosϕ + δe2 m sin ϕ)
= 1
sin θ(0, h cosϕ + k sin ϕ, −h sin ϕ + k cosϕ, 0) .
2
(8.162)