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290 E Konforme Abbildungen
E.7 Konforme Transformationen von R × S 3
Betrachten wir die Überlagerung M = R × S 3 der Untermannigfaltigkeit S 1 × S 3 von
R 2,4 . Diese Überlagerung ist in Kugelkoordinaten durch die Projektion
(t, α, θ, ϕ) ↦→(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) =
(cost, sin t, cosα, sin α cosθ, sin α sin θ cosϕ, sin α sin θ sin ϕ)
(E.117)
gegeben. Die Winkel α und θ variieren zwischen 0 und π, ϕ zwischen 0 und 2π, die
Koordinate t durchläuft alle reellen Zahlen. Auf R × S 3 wird von R 2,4 die Metrik
dx
dsódx
ds=dx 0
+dx
ds2 1
−dx
ds2 2
−dx
ds2 3
−dx
ds2 4
−dx
ds2 5
ds2
=dt
ds2 −dα
ds2 − sin 2 αdθ
ds2 − sin 2 α sin 2 θdϕ
ds2
(E.118)
induziert. Die in SO(2, 4) enthaltenen SO(2)-Drehungen wirken als Isometrien auf den
Kreis (x 0 , x 1 ) = (cost, sin t) durch Translation der Zeit t ↦→ t+a. Die in der Überlagerung
von SO(2, 4) enthaltenen Überlagerungen von Drehungen SO(2) wirken ebenso, nur daß
nicht die Punkte mit Koordinate t und mit Koordinate t + 2π identifiziert werden. Die
in SO(2, 4) enthaltenen Drehungen SO(4) drehen S 3 und sind ebenfalls Isometrien. Die
Isometrien von R × S 3 bilden die Produktgruppe R×SO(4).
Die Lorentztransformation auf bewegte Bezugssysteme mischt in R 2,4 zeitartige Koordinaten
(x 0 , x 1 ) und räumliche Koordinaten (x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ). Zum Beispiel ändert eine
infinitesimale Lorentztransformation in der 0-2-Ebene die x 0 - und x 2 -Koordinaten um
δx 0 = x 2 , δx 2 = x 0 .
Auf Richtungen lichtartiger Vektoren angewendet wird dies eine infinitesimale Transformation
auf S 1 × S 3 , wenn wir sie um eine Streckung δx m = −ax m mit a = x 0 x 2
so ergänzen, daß δx m senkrecht auf dem Ortsvektor in R 2 und R 4 steht, so daß der
transformierte Punkt wieder auf S 1 × S 3 liegt
δx 0 = x 2 − ax 0 , δx 1 = −ax 1 ,
δx 2 = x 0 − ax 2 , δx 3 = −ax 3 , δx 4 = −ax 4 , δx 5 = −ax 5 .
(E.119)
Wir lesen aus δx 0 = δ cost = − sin t δt und δx 2 = δ cosα = − sin α δα (E.117) die
infinitesimale Transformation von t und α ab
δt = − sin t cosα, δα = − costsin α . (E.120)
Die Winkel θ und ϕ bleiben unverändert.
Das Transformationsgesetz (E.120) zerfällt in zwei eindimensionale Transformationen
δ(t ± α) = − sin(t ± α) . (E.121)
E.7 Konforme Transformationen von R × S 3 291
Die zu δx = − sin x gehörige endliche Transformation (A.146) mit Transformationsparameter
σ erhalten wir aus der Differentialgleichung
mit der Lösung
dx
= − sin x,
dσ
1 dx
sin x dσ
= d ln tan x
2
dσ
= −1 (E.122)
tan x(σ)
2 = e−σ tan x(0)
(E.123)
2
als Abbildung des Anfangswerts x(0) auf x(σ). Diese Abbildung ist uns von der Aberration
(3.21) wohlvertraut. Bei x = π liegt keine Singularität, sondern ein Fixpunkt vor,
wie die äquivalente Form cot x(σ)
2 = eσ cot x(0)
zeigt. 2
Unter einer drehungsfreien Lorentztransformation in der 0-2-Ebene bleiben also θ und
ϕ unverändert, t ′ und α ′ kann man den folgenden Gleichungen entnehmen
tan t′ + α ′
2 = e−σ tan
tan t ′ = √ 1 − v 2
t + α
, tan
2
t′ − α ′
2 = e−σ t − α
tan , (E.124)
2
sin t
cost + v cosα , tan α′ = √ 1 − v2 sin α
. (E.125)
cos α + v cost
Diese Transformation ist typisch für alle konformen Transformationen von R ×S 3 , denn
jede Transformation aus SO(2, 4) ↑ wirkt bis auf eine nachfolgende Drehung auf R 2,4
als drehungsfreie Lorentztransformation in zueinander senkrechten zweidimensionalen
Unterräumen (D.34).
Obwohl jede Kugelfläche S n eine Längenskala, nämlich den an der Krümmung ablesbaren
Radius enthält, ist R × S 3 ein maximal konform symmetrischer Raum. Er hat
eine größere konforme Gruppe als der Minkowskiraum R 1,3 , der nur die von Poincaré-
Transformationen und Dilatationen erzeugten Weyltransformationen (E.98) zuläßt. Mit
der de Sitter-Metrik (F.31) ist R × S 3 zudem maximal symmetrisch.
Konform invariante Materiewirkung
Konform invariante Langrangedichten L (φ, ∂φ) für Materiefelder φ auf R × Sd−1 kann
man aus denjenigen Lagrangedichten L (g, ∂g, φ, ∂φ) erhalten, die unter allgemeinen
Koordinatentransformationen wie eine Dichte transformieren δξL = ∂m(ξmL ) und die
spezieller nicht von Metrik, sondern nur von der metrischen Dichte Γmn = g 1
dg mn abhängen,
wie beim Skalarfeld φ mit Lagrangedichte L = 1√
mn gg ∂mφ ∂nφ in d = 2
2
Dimensionen und für d = 4 beim Vektorfeld Am mit L = − 1√
kl mn g g g FkmFln (7.62).
4
Solch eine Wirkung ist unter allgemeinen Koordinatentransformationen invariant,
wenn wir Γmn und φ transformieren. Wenn Γmn unter konformen Transformationen
invariant ist und als Hintergrundfeld fest vorgegeben wird, so ist die Wirkung unter
konformen Transformationen von φ allein invariant.
In d Dimensionen müßte ein Skalarfeld als Dichte vom Gewicht w
φ ′ (x ′
∂x
) = det
∂x ′
w
φ(x) (E.126)