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280 E Konforme Abbildungen
Dies gilt nicht nur in einer nichtrelativistischen Näherung [38] sondern ohne Näherung
in der Schwarzschildmetrik und in der Kerr-Metrik, die Killingvektorfelder ξ = ∂t +Ω∂ϕ
besitzen. In der Schwarzschildmetrik ist die Fläche synchroner Uhren, ˙x 2 = konst, durch
die Lösung r(θ) von
r0
r + r2 Ω 2 sin 2 θ = r0
(E.53)
R
gegeben. Dabei ist R = r|θ=0 die halbe Länge der Erdachse, genauer der r-Wert am Nordoder
Südpol.
E.3 Konforme Transformationen in zwei Dimensionen
Jede zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist konform flach, ihre Metrik ist einer genügend
kleinen Umgebung jedes Punktes in geeigneten Koordinaten, x ′ 1 = u, x ′ 2 = v, ein
Vielfaches der flachen Metrik ηmn mit derselben Signatur
gmn(u, v) = Ω 2 (u, v) ηmn , Ω 2 > 0 . (E.54)
Denn für die inverse Metrik gilt im x ′ -Koordinatensystem 1
wenn v durch
g ′12 = ∂u
∂xk ∂v
∂xlgkl = 0 , (E.55)
g ′11 = ∂u
∂xk ∂u
∂xlgkl = ± ∂v
∂xk ∂v
∂xl gkl = g ′22 , (E.56)
√ mn
∂ku = εkm gg ∂nv (E.57)
den Gradienten von u definiert. Hierbei ist εkl = −εlk, ε12 = −1 (B.64), und g bezeichnet
den Betrag der Determinante der Metrik g = |g11g22 − g12g21|. Die Gleichung (E.55)
gilt wegen εkm = −εmk. Beim Bestätigen von (E.56) verwendet man die Definition der
Determinante (I.6) εklg km g ln = εmn det g .. = ±εmng −1 und εmrεms = δrs.
Nach Poincaré-Lemma (A.97) ist (E.57) ist genau dann integrabel, wenn
(εkm∂l − εlm∂k) √ gg mn ∂nv (E.58)
verschwindet. Da dieser Ausdruck in k und l antisymmetrisch ist und k und l nur zwei
Werte annehmen können, ist er proportional zu εkl (B.71), εkm∂l −εlm∂k = εkl∂m. Demnach
ist (E.57) integrabel, wenn v der Laplacegleichung oder Wellengleichung
∂m√ gg mn ∂nv=0 (E.59)
genügt. Die Laplacegleichung hat bekanntermaßen [30] in einer genügend kleinen Umgebung
jedes Punktes Lösungen mit nichtverschwindendem Gradienten, ebenso hat die
Wellengleichung Lösungen mit zeitartigem Gradienten.
1 Das untere Vorzeichen ist für den Fall g11g22 − g12g21 < 0 zu nehmen.
E.3 Konforme Transformationen in zwei Dimensionen 281
Da jede zweidimensionale Metrik konform flach ist, können wir uns bei der Untersuchung
konformer Transformationen in der Umgebung eines Punktes ohne Einschränkung
der Allgemeinheit auf konforme Transformationen der Metrik ηmn beschränken. Dort
lautet die konforme Killinggleichung (E.27) für ξn = ηnkξ k
∂mξn + ∂nξm − 2ǫ ηmn = 0 . (E.60)
Multiplizieren wir mit η mn , so ergibt sich wegen d = η mn ηnm = 2
ǫ = 1
2 ∂kξ k , (E.61)
und die konforme Killinggleichung des zweidimensionalen flachen Raums lautet
Für detη = η11η22 = −1 führt dies auf
mit der allgemeinen Lösung
∂mξn + ∂nξm − ∂kξ k ηmn = 0 , (E.62)
∂1ξ2 + ∂2ξ1 = 0 , ∂1ξ1 − η11η22 ∂2ξ2 = 0 . (E.63)
(∂1 − ∂2)(ξ1 − ξ2) = 0 , (∂1 + ∂2)(ξ1 + ξ2) = 0 (E.64)
ξ1 = f(x 1 − x 2 ) + g(x 1 + x 2 ) , ξ2 = f(x 1 − x 2 ) − g(x 1 + x 2 ) , (E.65)
ξ = ξ m ∂m = f(x 1 − x 2 ) (∂1 − ∂2) + g(x 1 + x 2 ) (∂1 + ∂2) (E.66)
mit beliebigen Funktionen f(x) und g(x). Die konforme Killinggleichung hat für d = 2
unendlich viele, linear unabhängige Lösungen. Zu den konformen Killingfeldern gehören
die endlichen Transformationen
TF,G : (x 1 − x 2 , x 1 + x 2 ) ↦→ (F(x 1 − x 2 ), G(x 1 + x 2 )) (E.67)
mit Funktionen F und G. Sie sind genau dann invertierbare Transformationen von R 1,1 ,
wenn sie strikt monoton sind und R invertierbar auf sich abbilden.
Durch die konforme Abbildung TF,G mit F(x) = G(x) = (2/π) arctan(x) wird der
zweidimensionale Minkowskiraum M = R 1,1 invertierbar auf das Penrose-Diagramm
N = {(x 1 , x 2 ) : −1 < (x 1 − x 2 ) < 1, −1 < (x 1 + x 2 ) < 1} (E.68)
abgebildet, in dem Lichtstrahlen wie im flachen Raum verlaufen.
Für η11η22 = +1 sind die Gleichungen (E.63) die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
für Real- und Imaginärteil einer komplex differenzierbaren Funktion
f(z) = ξ1(x 1 , x 2 ) + i ξ2(x 1 , x 2 ) , z = x 1 + i x 2 , ∂zf(z) = 0 . (E.69)
Zu jeder komplex differenzierbaren Funktion f(z) gehört ein konformes Killingfeld.