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180 8 Dynamik der Gravitation
dabei ist
(8.95)
γ = γ rs ∂r∂s
der skalare Wellenoperator der gekrümmten Raumzeit.
Betrachten wir eine Schar von Anfangsbedingungen und Materieverteilungen, die differenzierbar
von einem Parameter λ abhängt, und eine zugehörige Schar γmn (λ) von
Lösungen der Einstein-Gleichungen in harmonischer Eichung. Die Änderung der Metrik
¯h mn = −∂λγ mn
(8.96)
erfüllt die linear inhomogene Wellengleichung
γ ¯ h mn − ∂sγ mr ∂r ¯ h ns − ∂s ¯ h mr ∂rγ ns + ¯ h rs ∂r∂sγ mn = −2κ ∂λ(gT mn + t mn ) . (8.97)
von der Form (7.74). Daher hängt die Lösung dieser Gleichung in jedem Ereignis nur von
der Inhomogenität und den Anfangsbedingungen im Rückwärtslichtkegel ab, der durch γ
bestimmt ist. Lokalisierte Änderungen, Signale, breiten sich folglich höchstens so schnell
wie Licht aus, falls auch die Materiefelder Gleichungen mit demselben Wellenoperator
erfüllen oder ihre Schallkegel innerhalb des Lichtkegels liegen.
Ändern sich mit der Metrik die Lichtkegel, so kann die Metrik nicht analytisch im
Scharparameter sein, denn jeder Term einer Potenzreihe in λ hat Einfluß- und Abhängigkeitsgebiete,
die durch die Metrik am Entwicklungspunkt λ bestimmt sind, statt durch
die Metrik bei λ.
Die harmonische Eichung schränkt die Anfangswerte von ¯ h mn und ∂0 ¯ h mn ein,
∂m ¯ h mn (0,x) = 0 , ∂m∂0 ¯ h mn (0,x) = 0 . (8.98)
Während die erste Bedingung einfach die anfängliche Zeitableitung von ¯ h 0n festlegt,
∂0 ¯ h 0n (0,x) = −∂i ¯h in (0,x) , (8.99)
enthält die zweite Bedingung zweite Zeitableitungen von ¯ h0n . Eliminiert man diese
zweiten Zeitableitungen mit den Einsteingleichungen, so ist die Bedingung erfüllt, falls
die Gaußbedingung (8.82) erfüllt ist. Dies ist ein partielles, elliptisches Differentialgleichungssystem
vom Typ
∆γu + f(u, ∂u, ψ) = v(ψ) , ∆γ = −γ ij ∂i∂j , f(0, 0, ψ) = 0 , (8.100)
für die Anfangswerte von u n = ¯ h 0n , ψ bezeichne hier die übrigen Felder. Die Lösung
ist durch die Inhomogenität v und die Randwerte eindeutig festgelegt. Für Änderungen
δv in einem beschränken Gebiet V gibt es wie in der Elektrodynamik Lösungen δu, die
ebenfalls auf V beschränkt sind und die normalerweise mit Flächendichten von Energie
und Impuls auf der Oberfläche von V einhergehen. Die Auswirkungen solcher Änderungen
δv und δ ¯ h 0n sind auf den Vorwärts- und Rückwärtslichtkegel von V beschränkt:
Gravitationswellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus.
Da die Divergenz ∂λ∂m(2κ g T mn + 2κ t mn ) für Lösungen der Einstein-Gleichungen
verschwindet, gilt dann die harmonische Eichung zu allen Zeiten, denn die Divergenz
von (8.94)
γ(∂m ¯ h mn ) − (∂sγ nr )∂r(∂m ¯ h ms ) = 0 (8.101)
ist eine Wellengleichung (7.74) für ∂m ¯ h mk und hat bei verschwindenden Anfangswerten
die eindeutige Lösung ∂m ¯ h mk = 0.
Identifizierung von κ
8.8 Asymptotisch flache Raumzeit 181
Das metrische Feld außerhalb eines kugelsymmetrischen Sterns hat in harmonischen,
kartesischen Koordinaten (t, x 1 , x 2 , x 3 ) den Wert (F.9), (r 2 = (x 1 ) 2 +(x 2 ) 2 +(x 3 ) 2 > l 2 ),
γ ij = −δ ij + l2
r4xix j , γ 0i = 0 , γ 00 (r + l)
= +
(r − l)1 l r0 m G
, l = =
r2
2 c2 (8.102)
wobei der Scharzschildradius r0 (6.23) durch seine Auswirkung auf die Bahnen von Testteilchen
identifiziert ist. Eine Kugel mit Radius r enthält die Gesamtenergie
P 0 (r) = 1
d
2κ
2 fi γ ij ∂jγ 00 = 4π
2κ (l2 − r 2 ) ∂
∂r
(r + l) 3
r2 (r − l)
= 8π
κ
l (r + l)3
r 3
r − l/2
. (8.103)
r − l
Für r → ∞ ist P 0 = m c die Ruhemasse des Sterns und seines Gravitationsfeldes, die
rechte Seite geht gegen (8πG m)/(c 2 κ). Dies identifiziert die Gravitationskopplung
κ =
8π G
c 3 . (8.104)
Die Ableitung von P 0 (r) nach r, geteilt durch die Kugeloberfläche 4π r 2 ergibt die
gravitative Energiedichte t 00 außerhalb des Sterns (r > l),
t 00 (x) = 1
4π r2 ∂
∂r P 0 (r) = l2 + l 1
κr
r − l2
r6−7r 2 + 8r l − 3l 2. (8.105)
Sie ist wie in Newtonscher Gravitationstheorie negativ! Zieht sich ein Stern bei gleichbleibender
Gesamtenergie zusammen, so wird die im Gravitationsfeld enthaltene Energie
negativer und die Energiedichte im Stern steigt mit dem Druck zusätzlich stärker an, als
einfach ihrer Verdichtung entspräche.
8.8 Asymptotisch flache Raumzeit
Wir untersuchen eine Schar von Metriken, die nur wenig von der Metrik des flachen
Raumes abweichen, und die Einsteingleichungen lösen,
√ gg mn (λ) = η mn − λ ¯ h mn + O(λ 2 ) (8.106)
gmn(x) = ηmn + λhmn(x) + O(λ 2 ) , (8.107)
hmn = ηmkηnl ¯ h kl − 1
2 ηmnηkl ¯ h kl , ¯ h mn = η mk η nl hkl − 1
2 ηmn η kl hkl . (8.108)
Damit die Metrik für λ = 0 eine Lösung der Einsteingleichungen ist, ist der Energie-
Impulstensor κgT mn = λκT mn
(0) + O(λ2 ) der Materie mindestens erster Ordnung im Parameter
λ, der Energie-Impulskomplex t mn ist mindestens zweiter Ordnung. Dann sind
in der Lorenzeichung (F.1)
0 = ∂m ¯ h mn
(8.109)