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J Das Schursche Lemma
Eine Menge von linearen Abbildungen K, die einen Vektorraum V auf sich abbilden und
dabei einen echten Unterraum U, {0} = U = V, auf sich abbilden, heißt reduzibel. Wählt
man die Basis für V so, daß die ersten Basisvektoren U aufspannen, so haben die zu den
reduziblen Abbildungen gehörigen Matrizen einen gemeinsamen Block verschwindender
Matrixelemente und sind von der Form
K =∗ ∗
0 ∗. (J.1)
Eine Menge von linearen Abbildungen K heißt irreduzibel, wenn keine anderen Unterräume
als {0} und V von allen Abbildungen K auf sich abgebildet werden.
Ist bekannt, daß eine Menge linearer Abbildungen K nur mit Vielfachen der 1 vertauscht,
dann ist sie irreduzibel. Denn jeder Projektor auf einen invarianten Unterraum
vertauscht mit jedem K und kann, weil er ein Vielfaches der 1 und ein Projektor ist,
nur 1 oder 0 sein. Folglich ist der invariante Unterraum V oder {0}.
Wenn eine Abbildung W mit einer Abbildung K vertauscht, wenn also WK = KW
gilt, so bildet K für jede Zahl σ den Nullraum von W − σ1,
Nσ = {v ∈ V : (W − σ1)v = 0} , (J.2)
auf sich ab. Denn aus (W − σ1)v = 0 folgt 0 = K(W − σ1)v = (W − σ1)(Kv).
Ist die Menge von linearen Abbildungen K, die mit W vertauschen, irreduzibel und
hat W einen Eigenvektor zu einem Eigenwert λ, dann ist der zugehörige Nullraum Nλ
ein invarianter Unterraum und mindestens eindimensional, und folglich ist Nλ = V, das
heißt W = λ1. Demnach gilt das
Schursche Lemma: Wenn eine lineare Selbstabbildung W eines Vektorraumes einen
Eigenvektor hat und mit einer irreduziblen Menge von linearen Selbstabbildungen K vertauscht,
dann ist W = λ1 ein Vielfaches der Eins.
Die Bedingung, einen Eigenvektor zu haben, ist für jede
y
lineare Selbstabbildung eines
komplexen, endlichdimensionalen Vektorraumes erfüllt, ebenso für alle symmetrischen,
reellen Matrizen.
Als Gegenbeispiel hat die Drehung Dα (D.9)
α − sin α
Dαx
(J.3)
y=cos
sin α cos αx
für α = nπ keinen reellen, eindimensionalen, invarianten Unterraum, ist also reell irreduzibel.
Obwohl die Drehung Dα irreduzibel ist, vertauscht sie mit W = Dα, obwohl W
kein Vielfaches der Eins ist. Es ist eben die Voraussetzung des Schurschen Lemmas, daß
W einen Eigenvektor habe, nicht erfüllt.
Sei eine Menge von linearen Selbstabbildungen K eines Vektorraum V irreduzibel und
gebe es eine lineare Abbildung W von V in einen Vektorraum W. Wenn jedes K durch
W mit einer linearen Selbstabbildung K ′ von W verflochten ist,
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K ′ W = WK , (J.4)
und die Menge dieser K ′ ebenfalls irreduzibel ist, dann ist W entweder invertierbar und
K und K ′ einander äquivalent, K ′ = WKW −1 , oder W = 0 verschwindet.
Denn das Bild W V ist ein invarianter Unterraum der Abbildungen K ′ und der Nullraum
von W ist ein invarianter Unterraum der Abbildungen K. Falls nun W nicht
verschwindet, so ist, weil die Menge der K ′ irreduzibel ist, W V = W, und der Nullraum
von W ist nicht V, sondern {0}, da die Menge der K irreduzibel ist. Also ist W
invertierbar, oder W verschwindet.