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268 D Die Lorentzgruppe
Die Transformation ΛM ist eine Lorentztransformation, denn die Determinante von ˆ k
ist das Längenquadrat des Vierervektors k,
det ˆ k = (k 0 ) 2 − (k 1 ) 2 − (k 2 ) 2 − (k 3 ) 2 , (D.65)
und sie stimmt, weil det M = 1 und det(AB) = (det A)(det B) ist, mit der Determinante
von ˆ k ′ = Mˆ kM † überein. Also ist k ′ 2 = k2 und k ′ = Λk eine Lorentztransformation.
α
−i
Daß sich jedes U ∈ SU(2) als e
2 nσ schreiben läßt (D.49) und ebenso wie −U eine
Drehung von k um die Achse n um den Winkel α bewirkt, haben wir schon gezeigt
(D.56). Wir berechnen die zu eH , M = UeH , gehörige Lorentztransformation.
Die spurfreie, hermitesche Matrix H können wir als Linearkombination H = − β
2nσ der drei Pauli-Matrizen (D.44) schreiben, wobei wir n normiert wählen, (n) 2 = 1. Die
Exponentialreihe eH vereinfacht sich wegen (nσ) 2 = 1 wie in (D.48)
e H = exp(− β
2
nσ) = (cosh β
2
β
) − (sinh )nσ , (D.66)
2
wobei wir die 1-Matrix nicht explizit schreiben.
Die Matrix ˆ k, die auf ˆ k ′ = e Hˆ k (e H ) † = e Hˆ k e H abgebildet wird, schreiben wir als
ˆk = ˆ k + ˆ k⊥, wobei ˆ k = k 0 − knσ und ˆ k⊥ = − k⊥σ ist und k = kn + k⊥ den Vektor in
seinen zu n parallelen und senkrechten Anteil zerlegt.
Zur Berechnung der Transformation von ˆ k⊥ brauchen wir nur, daß ˆ k⊥ mit H ∝ nσ
antivertauscht (D.54), ˆ k⊥H = −H ˆ k⊥, weil k⊥ und n senkrecht aufeinander stehen,
Der zu n senkrechte Anteil k⊥ bleibt unverändert.
Die Matrix ˆ k vertauscht mit e H . Wegen (nσ) 2 = 1 gilt
e Hˆ k⊥e H = e H e −Hˆ k⊥ = ˆ k⊥ . (D.67)
e Hˆ k e H = ˆ k e 2H = (k 0 − knσ)(cosh β − (sinh β)nσ)
=(cosh β) k 0 + (sinh β) k−(sinh β) k 0 + (cosh β) knσ
= k ′ 0 − k ′ nσ .
Hieraus lesen wir ab k ′ 0
k ′ β sinh β
=cosh
sinh β cosh βk
0
(D.68)
k. (D.69)
Dies ist die drehungsfreie Lorentztransformation in n-Richtung mit Geschwindigkeit
v = tanhβ. Bis auf das Vorzeichen der Geschwindigkeit stimmt diese Transformation
mit (3.4) überein.
Schreiben wir e H als Darstellung der Lorentztransformation Lp (D.39), die ein ruhendes
Teilchen mit Masse m auf ein Teilchen mit Viererimpuls p, p 0 = √ m 2 + p 2 ,
abbildet, so ist n = p/|p| und tanhβ = v = |p|/p 0 . Um e H durch p statt durch β und n
zu parametrisieren, brauchen wir die Hyperbelfunktionen von β/2. Wegen
cosh β =
1
1 − tanh 2 p0
=
β m
(D.70)
D.4 Die Gruppe SL(2, C) 269
und der Additionstheoreme sind sie
cosh β
2 =1
p
(cosh β + 1) =
2 0 + m β
, sinh
2m 2 =1
(cosh β − 1) =
2
p 0 − m
2m .
(D.71)
Die zur drehungsfreien Lorentztransformation Lp (D.39) gehörige Matrix e H (D.66) ist
D(Lp) =
1
2m(p0 + m) (m + p0 m + ˆp
− pσ) = 2m(p0 . (D.72)
+ m)
Mit ihr konstruiert man die Spinoren des massiven Diracfeldes. Den definierenden Relationen
det D(Lp) = 1, D(Lp) = D(Lp) † und D(Lp)mD(Lp) † = ˆp entsprechen Lp p = p
(D.40).
Da sich jede zeitrichtungstreue und volumentreue Lorentztransformation eindeutig in
eine Drehung D und eine drehungsfreie Lorentztransformation LP zerlegen läßt (D.34)
und ebenso jede Matrix M mit det M = 1 in ein Produkt UeH (D.58) einer unitären
Matrix U, det U = 1, mit einer hermiteschen Matrix eH , det eH = 1, und da zu jeder
Drehung in drei Dimensionen genau ein Paar ±U unitärer Matrizen aus SU(2) gehört
(D.56) und zu jeder drehungsfreien Lorentztransformation Lp aus SO(1, 3) ↑ genau eine
Matrix D(Lp) (D.72), die durch ˆ k ↦→ ˆ k ′ = Mˆ kM † die entsprechende Lorentztransformation
bewirkt, ist, wie behauptet, SL(2, C) die Überlagerung von SO(1, 3) ↑ .
Die Basismatrizen − i
2σi und −1 2σj , die zu infinitesimalen Drehungen und drehungs-
freien Lorentztransformationen gehören, fassen wir mit der Schreibweise
σ ab = 1
4 (σa σ b − σ b σ a ) , σ ab = −σ ba , a, b ∈ {0, 1, 2, 3} , (D.73)
zusammen. Dabei sind die Matrizen σ a = (σ 0 , −σ 1 , −σ 2 , −σ 3 ). Die untere Indexstellung
ist vereinbarungsgemäß σab = ηacηbdσ cd . Explizit gilt
σ0i = −σ 0i = 1
2 σi , σij = σ ij = − i
2 εijk σ k , i, j, k ∈ {1, 2, 3} . (D.74)
Diese Matrizen stellen, wie man mit (D.46) nachprüft, die reelle Lorentzalgebra (B.17)
dar
[σab, σcd] = −ηacσbd + ηbcσad + ηadσbc − ηbdσac . (D.75)
Anders als bei Drehungen oder drehungsfreien Lorentztransformationen können nicht
alle Matrizen M ∈ SL(2, C) als Exponentialreihe infinitesimaler Transformationen
N = exp(( k + i sinh z
l )σ) = cosh z + (
z
k + il )σ , ( k + il ) 2 = z 2 geschrieben werden. Die Ausnahmen sind von der Form
, (D.76)
Denn damit M = N gelten kann, muß
M =−1 b
0 −1, b = 0 . (D.77)
sinh z
z von Null verschieden sein, sonst wäre N
diagonal. Damit die Hauptdiagonalelemente übereinstimmen, muß k 3 = l 3 = 0 sein.
N12 = 0 besagt k 1 +il 1 +i(k 2 +il 2 ) = 0. Als Folge ist z = 0 und N11 = cosh z = 1 = M11.