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134 6 Teilchen im Gravitationsfeld 6.6 Gewicht, Blickwinkel und Präzession Senkrechter Fall ins Schwarze Loch Beim senkrechten Fall verschwindet der Drehimpuls L, und der Energiesatz (6.21) lautet wie im nichtrelativistischen Fall (4.85) dr r0 − = −r0 . (6.79) ds2 r R Dabei drücken wir die Konstante (E/m) 2 − 1 durch den Wert der linken Seite auf der Gipfelhöhe R aus, wo dr/ds verschwindet. Die Lösung dieser Gleichung ist (4.90) s(r) = s(0) + R 3 r0r r01 − r R r − arctan (6.80) R − r. Der Fall bis zum Schwarzschildradius dauert die endliche Eigenzeit s(r0) − s(R). Dort beträgt dr/ds = −1 − r0/R (6.79). Wählen wir einfachheitshalber den Nullpunkt der Eigenzeit so, daß r0 zur Eigenzeit s(r0) = 0 durchlaufen wird, so verhält sich r(s) dort bis auf höhere Potenzen von s wie r = r0 −1 − r0 s . (6.81) R Die Eigenzeit s hängt für r > r0, das heißt s < 0, mit der Koordinatenzeit t durch (6.20) zusammen (1 − r0 r )dt ds =1 − r0 , (6.82) R wobei wir die Konstante E/m durch die Gipfelhöhe R ausdrücken. Beim Schwarzschildradius gilt daher bis auf höhere Potenzen von s für negative s ds dt =1 − r0 R− 1 21 − r0 r∼− s r0 t − r , s(t) ∝ −e 0 , (6.83) und umgekehrt t/r0 = − ln(−s) + konst. Insbesondere erreicht das fallende Teilchen den Schwarzschildradius nicht zu endlicher Koordinatenzeit. Das liegt, wie wir bei Raumzeitdiagramm 8.1 diskutieren, daran, daß die Koordinaten t und r am Schwarzschildradius r0 ungeeignet sind. Es besagt nicht, daß das fallende Teilchen nicht r0 durchfällt, und auch nicht, daß es unendlich lange für einen bei rB > r0 ruhenden Beobachter sichtbar ist. Seine Uhr zeigt die Eigenzeit dτ =1 − r0/rB dt. Wenn das Teilchen mit einer konstanten Rate dn/ds Photonen aussendet, so verhält sich diese Rate, bezogen auf die Uhr des Beobachters, wegen dn/dτ = dn/dsóds/dtódt/dτ wie ds/dt und nimmt, wenn das Teilchen dicht über dem Schwarzschildradius ist, exponentiell ab dn dτ √ τ r ∝ e− 0 1−r0 /rB . (6.84) 6.6 Gewicht, Blickwinkel und Präzession 135 Genau so wie dn/dt nimmt die Frequenz νB der beobachteten Photonen, die beobachtete Zahl von Schwingungen pro Zeiteinheit, exponentiell ab, νB ∝ e −t/r0 . Die Rotverschiebung des Lichts von fallenden Teilchen ist größer als von ruhenden Teilchen (6.78). Der radiale Maßstab des Beobachters zeigt Längen dl = dr/1 − r0/rB . Wenn das Teilchen am Beobachter vorbeifällt, hat es für ihn eine Geschwindigkeit mit Betrag dl v = dτ = dl dr dr ds ds dt dt dτ =r0 − rB r0 21 − R1 r0 R− 1 2 . (6.85) Sie ist umso größer, je näher der Beobachter dem Schwarzen Loch ist, und geht für rB → r0 gegen die Lichtgeschwindigkeit c = 1. Strahlt das Teilchen gleichstark in alle Richtungen, so bewirkt Aberration den Scheinwerfereffekt, daß dieses Licht für den Beobachter mehr in Bewegungsrichtung des Teil- chens ausläuft und, wenn er das Teilchen unter sich sieht, auf ein um 1+v 1−v vergrößertes Flächenelement verteilt wird. Diese Strahlauffächerung verringert die gesehene Leuchtstärke des Teilchens für einen Beobachter in der Fallinie um einen Faktor, der proportional zu s(t) ∝ −e −t/r0 ist, wenn das Teilchen den Schwarzschildradius durchfällt. Durch Dopplereffekt, Rotverschiebung und Aberration nimmt also die beobachtete Leuchtstärke beim Fall durch den Horizont mit e −3t/r0 ab. Sie wird zwar nie Null, verringert sich aber bei einem Schwarzen Loch mit einen Schwarzschildradius wie die Sonne, r0 ≈ 3ó10 3 m, binnen 3,3ó10 −6 s um einen Faktor e und ist schnell unter jeder Nachweisgrenze. Das Bild des Teilchens verlischt wie eine Glühlampe, die man ausschaltet: auch ihr Temperaturunterschied zur Umgebung verschwindet schließlich nur exponentiell. Die Gesamtzahl der Photonen, die der Beobachter vom Teilchen sieht, ist endlich. Damit kann man nur endlich viele Bilder belichten. Das gemeinsame Gravitationsfeld des Schwarzen Lochs und eines Teilchens, das von R = ∞ fällt, ist nicht das eines Schwarzen Lochs mit größerer Masse, denn es ist nicht kugelsymmetrisch. Es ist zeitabhängig, und es werden Gravitationswellen abgestrahlt. Es entsteht wohl schließlich ein Schwarzes Loch mit Drehimpuls (Kerr-Lösung) und mit einer Masse, die um die Energie der abgestrahlten Gravitationswellen geringer ist als die Summe der Massen des Teilchens und des ursprünglichen Schwarzen Lochs. Das Gravitationsfeld eines Schwarzen Lochs, in das eine kugelsymmetrische Schale von Materie fällt, ist außen dasjenige eines Schwarzes Lochs mit der Gesamtmasse, im von der Schale umschlossenen Bereich wirkt nur die Masse des Zentrums (8.55). Beobachter auf Kreisbahnen Ein Beobachter bezieht Längen und Zeiten benachbarter Ereignisse auf einen Satz von vier normierten und zueinander senkrechten Basisvektoren, auf das Vierbein. Dabei ist der zeitartige Basisvektor die Tangente an seine eigene, mit der Eigenzeit parametrisierte Weltlinie. Die Tangente verbindet Ereignisse, die nacheinander stattfinden, und entspricht der mitgeführten Uhr des Beobachters. Die drei dazu senkrechten raumartigen Basisvektoren zeigen von seiner Weltlinie zu gleichzeitigen Ereignissen in Einheitsabstand, sie sind die räumlichen Meßlatten. Einfachheitshalber rechnen wir mit c = 1.
136 6 Teilchen im Gravitationsfeld Ein Beobachter, der in der x-y-Ebene das Gravitationszentrum mit einer Winkelgeschwindigkeit ω, die er mit seiner eigenen Uhr ermittelt, auf der Bahnkurve t(s) á=s ámit a(r) r(s) r(0) + r π a(r) =1 θ(s) 2 ϕ(s) s ω 2ω2 1 − r0 (6.86) r umkreist, definiert durch die Beschleunigung und ihre Änderung die Bezugsrichtungen 1 0 0 − e0 =a 0 ω r0â, r eϕ = 0 0 √ 1− r0 rωr 2â, á. r−r0 0 0 eθ =0 1 0 r a 0 r (6.87) Der Vektor e0 = dx ist die Tangente an die Weltlinie des Beobachters, auf der die nor- ds mierten Vektoren er, eθ und eϕ senkrecht stehen. Der Vektor er zeigt im Gravitationsfeld vertikal nach oben, eϕ horizontal in Bewegungsrichtung nach vorne. Wir werden die Weltlinie und das Vierbein für die Spezialfälle eines ruhenden Beobachters, ω = 0, eines frei fallenden Beobachters, b = 0, und auch für verschwindende Gravitation r0 = 0 untersuchen. In jedem Fall erhalten wir durch wiederholte, kovariante Ableitung das Vierbein b = á, er = δea m δs δe0 δs = ber , = dea m ds + dxk ds Γkl m ea l = δer δs = be0 + Ωeϕ , dea m ds +aΓtl m + ωΓϕl mea l , (6.88) δeϕ δs = −Ωer , δeθ δs = 0 , (6.89) 1 1 − r0 2r rr0 2 − rω2 (1 − 3r0 2r ), + r Ω =1 2ω2 1 − r0 − r1 3r0 . (6.90) 2rω Dabei haben wir die folgenden nichtverschwindenden Christoffelsymbole Γkl m (C.106) der Schwarzschildmetrik (6.15) sowie θ = π/2 verwendet Γtr t = Γrt t = r0 2r(r − r0) , Γtt r = r0 2r3(r − r0) , Γrr r = − r0 2r(r − r0) , Γθθ r = −(r − r0) , Γϕϕ r = −(r − r0) sin 2 θ , Γrθ θ = Γθr θ = 1 , (6.91) r Γϕϕ θ = − sin θ cos θ , Γrϕ ϕ = Γϕr ϕ = 1 r , Γϕθ ϕ = Γθϕ ϕ = cot θ . Kreist ein Beobachter für r > 3 2 r0 mit Winkelgeschwindigkeit ωfrei , ω 2 frei = r0 2r 31 − 3r0 2r−1 , (6.92) um das Gravitationszentrum, so verschwindet die Beschleunigung b (6.90) und er fällt frei. Diese Winkelgeschwindigkeit ist um (1 − 3r0 2r )−1/2 größer als in Newtonscher Physik. Beim Vergleich von Winkelgeschwindigkeiten ist auch zu berücksichtigen, daß ein 6.6 Gewicht, Blickwinkel und Präzession 137 im großen Abstand ruhender Beobachter mit seiner Uhr statt ω die kleinere Winkelgeschwindigkeit ω/a mißt. Für r = 3 2 r0 ist die Beschleunigung b unabhängig von der Winkelgeschwindigkeit und für r < 3 2 r0 erhöht sich das Gewicht des Beobachters, wenn er nicht ruht, sondern um das Gravitationszentrum kreist. Dort wirkt die zur Kreisbewegung gehörige Zentrifugalkraft nach innen [39] und erhöht das Gewicht, denn die Drehimpulsbarriere L2 r0 2mr21− r(6.21) wird maximal für r = 3 2r0 und anziehend für r < 3 2r0. Kreisbahnen, die mit 3 2r0 < r ≤ 3r0 im freien Fall durchlaufen werden, sind instabil. Das effektive Potential Veff (6.21) ist mit a = L r0 als Funktion von u = mr0 r durch Veff = m 2 (−u + a2u2 − a2u3 ) gegeben. Ist a2 > 3, so wird das effektive Potential extremal bei umin,max = 1 31 ∓ √ 1 − 3 a2. Die stabilen Kreisbahnen gehören zum Minimum und treten nur für u < 1 3 , also für r > 3r0, auf. Ruhender Beobachter Für einen Beobachter mit Masse m, der im Gravitationsfeld der Masse M mit ω = 0 ruht, verschwindet die Beschleunigung nicht. Er wiegt F = mb FGewicht = m 1 − r0 r r0 d √ = m g00 = 2 r2 dr 1 1 − r0 m M G r r 2 . (6.93) Das Gewicht ist um den Faktor 1/1 − r0 größer als in Newtonscher Physik und wird r am Schwarzschildradius unendlich. Der Tangentialvektor dx π eines Lichtstrahls, der in der θ = -Ebene einfällt, hat für ds 2 den ruhenden Beobachter in vertikaler er-Richtung und horizontaler eϕ-Richtung die Komponenten r0 eródx = (1 − ds r )−1 dr dϕ 2 , eϕódx = r . (6.94) ds ds ds Der Beobachter sieht den Lichtstrahl in der zur Ausbreitungsrichtung entgegengesetzten Richtung mit einem Winkel tanα = − eϕódx ds eródx ds = −r1 − r0 r dϕ ds dr ds (6.95) zur Vertikalen einfallen. Mit den Erhaltungssätzen (6.44, 6.46) erhalten wir den Einfallswinkel (tanα) 2 r − 1 r0 = E2r2 0 L2r (6.96) r − + 1 r03 r0 als Funktion des Ortes und von Er0/L. Das effektive Potential (6.47) nimmt bei r = 3 Lichtstrahlen, die diese Potentialbarriere überwinden, erfüllen gemäß (6.46) 2r0 sein Maximum Veff, max = 2 L 27 2 r0 2 an. E 2 > 4 L 27 2 . (6.97) r0 2
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Geometrie der Relativitätstheorie
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ii Im vierten Kapitel stellen wir d
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vi Inhaltsverzeichnis Bewegtes Line
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x Inhaltsverzeichnis G.3 Eichsymmet
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4 1 Die Raumzeit Gerade Weltlinien
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8 1 Die Raumzeit Für jedes Ereigni
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12 1 Die Raumzeit Ist für einen Be
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16 1 Die Raumzeit mag, in den Zusta
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20 2 Zeit und Länge B S U tudinale
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24 2 Zeit und Länge Geschwindigkei
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28 2 Zeit und Länge B0 S Bv τ τ
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304 G Die Noethertheoreme Der Strom
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J Das Schursche Lemma Eine Menge vo
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324 Literaturverzeichnis [15] Norbe
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Index Symbole Fmn 92,247 Gkl 163 Mt
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332 Index Noethertheorem 65-67,301-
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