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232 B Liegruppe und Liealgebra
ist äquivalent zur kontragredienten Spinortransformation. Für jede Matrix M mit Determinante
Eins gilt ja wegen (B.60) ε αγ M β αM δ γ = ε βδ oder MεM T = ε und daher
M T −1 α β = εαγM γ δε δβ , (B.63)
wobei εαγ die Matrixelemente der zu ε inversen Matrix bezeichnet
Insbesondere definiert
εαγε γβ = δα β , εαγ = −ε αγ . (B.64)
χα = εαβχ β , χ1 = −χ 2 , χ2 = χ 1 , (B.65)
die Komponenten eines kontragredient transformierenden Spinors.
Die komplex konjugierte Spinortransformation
χ ′ ˙α = M ∗ ˙α ˙ β χ ˙ β
(B.66)
ist nicht äquivalent zur Spinortransformation, denn die Eigenwerte von zum Beispiel
i2
M =
∈ SL(2, C) (B.67)
−2i
sind von den Eigenwerten von M ∗ verschieden.
Auch die konjugiert komplexe Spinortransformation ist ihrer kontragredienten Transformation
äquivalent; mit dem ε-Tensor und seinem Inversen
ε ˙α ˙ β = −ε ˙ β ˙α , ε ˙1˙2 = 1 , ε ˙α ˙ β ε ˙ β ˙γ = δ ˙α ˙γ , ε ˙α ˙ β = −ε ˙α ˙ β
lassen sich Indizes hoch- und runterziehen
(B.68)
χ ˙α = ε ˙α ˙ β χ ˙ β , χ ˙ β = ε ˙ β ˙γχ ˙γ , χ˙1 = −χ ˙2 , χ˙2 = χ ˙1 . (B.69)
Komponenten von Spinoren höherer Stufe mit einem Tensortransformationsgesetz wie
zum Beispiel
ψ ′ αβ = M α γM β δψ γδ
(B.70)
können in einen total symmetrischen Anteil χ αβ = χ βα und ein antisymmetrischen Anteil
τ αβ = −τ βα zerlegt werden. Da die Spinorindizes nur zwei Werte annehmen können, ist
der antisymmetrische Anteil proportional zum invarianten ε-Tensor
τ αβ = −τ βα ⇔ τ αβ = 1
2 τγ γ ε αβ , τγ γ = εβατ αβ . (B.71)
Die zu Spinortransformationen gehörigen, inäquivalenten Tensortransformationen treten
daher bei Tensoren auf, deren (k + 1)(l + 1) Komponenten total symmetrisch (A.67) in
k ungepunkteten und total symmetrisch in l gepunkteten Spinorindizes sind
ψ ′ (α1...αk)( ˙ β1... ˙ βl) = M α1 γ1 . . .M αk γk M ∗ ˙ β1 ˙δ1 . . .M ∗ ˙ βl ˙δl ψ(γ1...γk)( ˙ δ1... ˙ δl) . (B.72)
Für k = l ist das Transformationsgesetz verträglich mit der Realitätsbedingung
(ψ (α1...αk)( ˙ β1... ˙ βk) ) ∗ = ψ (β1...βk)( ˙α1... ˙αk) . (B.73)
C Elementare Geometrie
C.1 Parallelverschiebung
Verschiebt man in einem gekrümmten Raum einen Vektor parallel von einem Punkt A zu
einem Punkt B, so hängt das Ergebnis vom Weg ab, den man von A nach B durchlaufen
hat. Das ist auf einem Globus leicht nachzuvollziehen. Verschiebt man dort von einem
Punkt A am Äquator einen nach Norden zeigenden Vektor längs des Äquators zu einem
Punkt C, der ein Viertel Kugelumfang entfernt ist, und verschiebt man ihn dann nach
Norden zum Nordpol B , so weist er dort von C weg; verschiebt man den Vektor direkt
von A nach Norden zum Nordpol B, so weist er von A weg und bildet einen Winkel von
90mit dem Vektor, der von A über C nach B verschoben wurde.
Die Wegabhängigkeit von Parallelverschiebung läßt sich auf der Kugeloberfläche durch
keine geschicktere Vorschrift für Parallelverschiebung vermeiden. Gäbe es eine wegunabhängige
Vorschrift, die jedem Vektor am Punkt A einen dazu parallelen Vektor an jedem
Punkt B eindeutig und umkehrbar zuordnet, so gäbe es auf der Kugeloberfläche ein Vektorfeld,
das nirgends verschwindet. Es gehört aber zu den topologischen Eigenschaften
der zweidimensionalen Kugeloberfläche, daß jedes Vektorfeld mindestens an einer Stelle
verschwindet. Einen Igel kann man nicht ohne Wirbel kämmen.
Parallelverschiebung ist eine geometrische Struktur, die einen Zusammenhang von
Vektoren am Anfangspunkt A und Endpunkt B jeder Kurve Γ herstellt. Wir bezeichnen
mit PΓv den Vektor am Punkt B, den wir durch paralleles Verschieben des Vektors v
von A längs Γ nach B erhalten.
Parallelverschiebung ist definitionsgemäß linear: Wird eine Summe v + w parallel verschoben,
so stimmt das Ergebnis mit der Summe der parallel verschobenen Teile überein.
Zudem wird jedes Vielfache von v in das Vielfache von PΓv verschoben
PΓ(v + w) = (PΓv) + (PΓw) , PΓ(c v) = c (PΓv) . (C.1)
Parallelverschiebung ist also mit der Vektorraumstruktur verträglich und liegt fest, wenn
Parallelverschiebung der Basisvektoren definiert ist.
Jeder Vektor ist definitionsgemäß sich selbst parallel; besteht die gesamte Kurve Γ nur
aus einem Punkt, so ist PΓv = v .
Hintereinanderausführen von Parallelverschiebung gibt die Parallelverschiebung längs
hintereinander durchlaufener Wege. Für jeden Punkt C auf der Kurve Γ zwischen A
und B und die zugehörigen Teilkurven Γ1 von A nach C und Γ2 von C nach B und die
hintereinander durchlaufene Kurve Γ = Γ2 + Γ1 soll also gelten
PΓ2+Γ1v = PΓ2PΓ1v . (C.2)