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146 7 Äquivalenzprinzip
Eine etwaige Vakuumenergiedichte, die zu einer kosmologischen Konstante gehört und
die getrennt (7.7) erfüllt, denken wir uns von T kl abgezogen. Betrachten wir dann das
Testteilchen im Vakuum, so verschwindet T kl dort. Darüber hinaus nehmen wir an, daß
wir die gravitative Rückwirkung des Teilchens auf sich selbst, den Term γkl m τ kl vernachlässigen
dürfen. Diese Annahme schließt aus, daß das Teilchen ein Punktteilchen
ist. Insbesondere muß das Teilchen groß gegen den zu seiner Masse gehörigen Schwarzschildradius
sein und überall geringe Dichten von Energie- und Impuls haben, damit wir
die ihm eigene Gravitation vernachlässigen können.
Mit diesen Modellannahmen vernachlässigen wir die gravitativen Auswirkungen des
Testteilchens und fassen die Metrik gmn als vorgegebenes Feld auf, als sogenanntes Hintergrundfeld,
unter dessen Einfluß sich das Testteilchen bewegt
und folglich
0 = ∂lτ ml + Γkl m τ kl
(7.16)
τ mn = ∂lx n τ ml+x n Γkl m τ kl . (7.17)
Als weitere Eigenschaft des Teilchens nehmen wir an, daß die Energie-Impulstensordichte
des Teilchens auf einen Schlauch um die Weltlinie des Schwerpunktes X(λ)
beschränkt ist, das heißt, wenn wir über Schichten gleicher Zeit x 0 = X 0 (λ) integrieren,
so verschwindet für jedes λ
x0 =X0 d
(λ)
3 x (x l − X l (λ))τ mn = 0 . (7.18)
Für m = n = 0 definiert diese Gleichung die Weltlinie des Energieschwerpunktes eines
ausgedehnten Teilchens. Wir fordern als Eigenschaft des Teilchens, daß die Schwerpunkte
der anderen Komponenten der Energie-Impulstensordichte mit dem Energieschwerpunkt
übereinstimmen, so wie das bei einem Punktteilchen der Fall ist.
Zur rechnerischen Vereinfachung wählen wir als Parameter λ der Weltlinie die Koordinatenzeit
x0 und nennen ihn t. Es gilt dann einfach X0 (t) = t.
Der Schlauch sei groß genug, daß die Energie- und Impulsdichten des Teilchen klein
sind, und klein genug, so daß sich auf seinen Abmessungen nicht auswirkt, daß die
Gravitation ungleichmäßig ist. Was diese etwas unklaren Eigenschaften genau besagen
sollen, zeigt die folgende Rechnung.
Wir integrieren (7.16) über Schichten gleicher Zeit x0 = t
0 =
x0 d
=t
3 x∂0τ m0 + ∂iτ mi + Γkl m τ kl. (7.19)
Beim ersten Term kann die Zeitableitung vor das Integral gezogen werden. Das Integral
über die räumlichen Ableitungen ∂iτ mi verschwindet, denn nach dem Gaußschen Satz ist
es gleich dem Oberflächenintegral über die Fläche, die das Integrationsvolumen berandet,
und in weiter Entfernung von Schwerpunkt verschwindet τ mi , weil das Teilchen klein ist.
Beim dritten Term entwickeln wir Γkl m (x) um den Schwerpunkt mit einem Restglied
zweiter Ordnung
Γkl m (x) = Γkl m (X) + (x r − X r )∂rΓkl m (X) + 1
2 (xr − X r )(x s − X s )∂r∂sΓkl m (x) ,
7.3 Testteilchen 147
wobei x ein Punkt zwischen X(t) und x ist. Setzten wir diese Entwicklung in das Integral
x 0 =t Γkl m (x)τ kl ein, so können wir beim ersten Term Γkl m (X) und beim zweiten
∂rΓkl m (X) vor das Integral ziehen, da diese Faktoren nicht von der Integrationsvariablen
abhängen. Das Integral über (x r −X r )τ kl verschwindet nach Definition des Schwerpunktes
(7.18). Das Integral über den Term mit dem Restglied vernachlässigen wir
x 0 =t
d 3 x 1
2 (xr − X r )(x s − X s )∂r∂sΓkl m (x)τ kl ≈ 0 . (7.20)
Es ist proportional zu den Änderungen von Γ in zweiter Ordnung innerhalb der Abmessungen
des Teilchens und verschwindet im Grenzfall eines nicht ausgedehnten Teilchens.
In diesem Sinn ist ein Testteilchen klein.
Wir erhalten mit dieser Näherung aus (7.19)
0 = d
d
dt
3 xτ m0 + Γkl m
(X(t)) d 3 xτ kl . (7.21)
Für ein Integral mit Γkl m wirkt τ kl wie ein Vielfaches der δ 3 (x − X(t))-Funktion.
Integrieren wir (7.17), so erhalten wir aus denselben Gründen
d 3 xτ kl
=
= d
dtX k
(t) d 3 xτ 0l+X k (t) Γmn l
(X(t)) d 3 xτ mn .
d 3 x∂0(x k τ 0l ) + ∂i(x k τ il ) + x k Γmn l τ mn
Kombinieren wir dies Ergebnis mit (7.21), so vereinfacht es sich zu
Für l = 0 und wegen τ kl = τ lk erhalten wir
und, wenn wir k in l umbenennen und in (7.23) einsetzen,
Setzen wir in (7.21) ein, so ergibt sich
0 = d
dtdX m
dt
(7.22)
d 3 xτ kl =d
dt Xk (t)
d 3 xτ 0l . (7.23)
d 3 xτ 0k =d
dt Xk (t)
d 3 xτ 00 , (7.24)
d 3 xτ kl =d
dt Xk (t)d
dt Xl (t)
d 3 xτ 00 . (7.25)
d 3 xτ 00+Γkl m (X) dXk dX
dt
l
d
dt
3 xτ 00 . (7.26)
Dies ist die Geodätengleichung in der Parametrisierung X 0 (t) = t. Fassen wir t(s) als
Funktion eines Parameters s auf, die durch
dt
1
= f(t) , f(t) =
ds m x0 d
=t
3 xτ 00
(7.27)