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152 7 Äquivalenzprinzip
Multipliziert mit µ ′ /ρ sind dies Gleichungen für das Vektorfeld vm = µ ′ um
v m Dmvr − 1
2 Drµ ′2 = v m Dmvr − 1
2 Drv 2 = v m (Dmvn − Dnvm) = 0 . (7.59)
Die kovariante, antisymmetrisierte Ableitung kann hier durch die partielle Ableitung
ersetzt werden. Die Metrik tritt in diesen Gleichungen für die Funktionen vm nur bei
v m = g ms vs auf.
Lösen wir die Gleichungen für r = 1, 2, 3 nach den Zeitableitungen auf, so erhalten
wir (s, t ∈ {0, 1, 2, 3}, i, j ∈ {1, 2, 3})
∂0vi = ∂iv0 −
vsg sj
vtg t0∂jvi − ∂ivj) . (7.60)
Die Gleichung für r = 0 ist als Folge dieser drei Gleichungen erfüllt.
Diese Gleichung hängt nicht von der Funktion µ(ρ) ab. Sie kommt ins Spiel, wenn
man berücksichtigt, daß die Stromdichte j m zwar nach Konstruktion die Kontinuitätsgleichung
erfüllt, daß man aber Dm(ρ/µ ′ v m ) = 0 zusätzlich noch fordern muß. Dies führt
wegen v 2 = µ ′2 und v n Dmvn = µ ′ µ ′′ Dmρ für µ ′ µ ′′ = 0 auf
(g mn + f(v 2 ) v m v n ) Dmvn = 0 , (7.61)
wobei die Funktion f sich aus der Funktion µ ergibt, 1+µ ′ 2 f(µ ′ 2 ) = µ ′ /(ρ µ ′′ ). Die Gleichung
(7.61) kann nach der Zeitableitung von v0 aufgelöst werden, sodaß bei gegebener
Metrik analytische Lösungen von (7.60, 7.61) durch die Anfangswerte von v m festgelegt
sind.
7.5 Lichtstrahlen
Licht ist eine elektromagnetische Welle, die die Maxwell-Gleichungen löst. Um den Einfluß
der Gravitation auf Licht zu bestimmen, untersuchen wir die Feldgleichungen für
das elektromagnetische Viererpotential, die sich aus der Wirkung mit Lagrangedichte
LMaxwell(g, A, ∂A) = − 1 √ km ln∂kAl g g g − ∂lAk∂mAn 16πc
∂nAm −
(7.62)
ergeben. Diese Lagrangefunktion ist bei Abwesenheit weiterer Felder bis auf vollständige
Ableitungen und die Normierung eindeutig festgelegt, wenn man fordert, daß die
Bewegungsgleichungen linear in Am und zweiter Ordnung sein sollen und daß die Wirkung
invariant unter Eichtransformationen (5.84) und unter Koordinatentransformationen
(A.128) sein soll. Wenn die Metrik flach ist gflach mn = ηmn, dann stimmt die
Lagrangefunktion mit (5.188) überein.
Sowohl die Eichinvarianz und Koordinateninvarianz als auch die Beschränkung der
Ableitungsordnung sind in einer Quantenfeldtheorie zwingend erforderlich [31], damit
sich nicht unphysikalische Freiheitsgrade mit negativen, und daher widersinnigen Wahrscheinlichkeiten
in physikalischen Prozessen auswirken.
7.5 Lichtstrahlen 153
Durch Variation des Viererpotentials An(x) in WMaxwell erhält man die Bewegungsgleichungen
∂m√ g g km g ln∂kAl − ∂lAk=0 . (7.63)
Diese Gleichungen sind kovariant, denn die Feldstärke Fkl = ∂kAl − ∂kAk und daher
auch F mn = g km g ln Fkl transformieren, wie ihr Indexbild angibt, als Tensor (5.204). Die
Ableitung von √ g ergibt ein Christoffelsymbol (I.15), das die partielle Ableitung von F mn
zur torsionsfreien und metrikverträglichen kovarianten Ableitung ergänzt. Zudem kann
ein Term √ g Γml n F ml hinzugefügt werden, da die Summe über ein antisymmetrisches
Indexpaar F ml = −F lm und ein symmetrisches Indexpaar Γml n = Γlm n verschwindet
(5.17)
∂m√ g F mn= √ g∂mF mn + Γml m F ln + Γml n F ml= √ g DmF mn . (7.64)
Wegen Γkl m = Γlk m kann die Feldstärke auch durch kovariante Ableitungen, DkAl =
∂kAl − Γkl n An, geschrieben werden Fkl = DkAl − DlAk. Zudem können wir die Indizes
von Tensorkomponenten mit der Metrik hoch- und runterziehen, denn die kovariante
Ableitung der Metrik und folglich der inversen Metrik (C.98) verschwindet. Daher sind
die Maxwellgleichungen im Vakuum der gekrümmten Raumzeit
D m (DmAn − DnAm) = 0 . (7.65)
In der kovarianten Formulierung der Maxwellgleichung tritt die metrikverträgliche, torsionsfreie
Konnektion, das Christoffelsymbol auf. Ebenso wie Testteilchen spürt das elektromagnetische
Feld nichts von Torsion.
Den zweiten Term in den Maxwellgleichungen schreiben wir mit (C.54) um, wobei wir
berücksichtigen, daß die Torsion verschwindet
Die Summe
DmDnA m = [Dm, Dn]A m + DnDmA m = Rmnr m A r + DnDmA m . (7.66)
Rmn = Rmln l
(7.67)
definiert die Komponenten des Riccitensors 2 . Er ist permutationssymmetrisch (C.112)
Rmn = Rnm . (7.68)
Damit schreiben sich die Feldgleichungen des Viererpotentials als
D m DmAn + RnmA m − DnDmA m = 0 . (7.69)
Über die Eichfreiheit des Viererpotentials kann man so verfügen, daß diese Gleichungen
einfacher werden. Verlangt man die Lorenzeichung (5.89)
2 gesprochen Ritschi
DmA m = 0 , (7.70)