papiersparender pdf-Version

108 5 Elektrodynamik
Das Integral über die Stromdichte j, das beim Vektorpotential A auftritt, kann man
mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung, ˙ρ + ∂kjk = 0, als Zeitableitung von P schreiben,
d 3 xj i
(x) =
d 3 x∂k(x i j k ) − x i (∂kj k )=
d 3 xx i ˙ρ = ˙
P i , (5.178)
denn das Integral über die räumlichen Ableitungen ∂k(x i j k ) gibt Randterme und verschwindet,
weil nach Annahme die Ströme für große r verschwinden.
Ebenso kann man räumliche Momente der Stromdichte, genauer symmetrisierte Mo-
mente, als Zeitableitung des Quadrupolmomentes schreiben,
d 3 x (j i x j + j j x i
) = d 3 x∂k(x i x j j k ) − x i x j ∂kj k=
= 1
3 ˙ Q ij + 1
3 δij
d 3 xx 2 ˙ρ .
d 3 xx i x j ˙ρ
(5.179)
Das magnetisches Moment M einer Stromverteilung ist das antisymmetrisierte Moment
1
d
2c
3 x (x j j k − x k j j ) = εjkiM i , M = 1
d
2c
3 xx ×j . (5.180)
Damit erhalten wir
d 3 xx i j j = c εijkM k + 1
6 ˙ Q ij + 1
6 δij
d 3 xx 2 ˙ρ (5.181)
und können die ersten zwei Terme von (5.174) auswerten
Afern(t,x) = 1
P − n × M ˙ 1
+
c r˙
6c ¨ Qn + 1
6c n
d 3 y y 2 ¨ρ. (5.182)
Der dritte Term in (5.174) betrifft zweite Zeitableitungen von Integralen über xixjj k .
Wir vernachlässigen sie so wie dritte Zeitableitungen von xixjxkρ. Die Feldstärken bestimmen wir ebenfalls nur bis zur Ordnung 1/r. Wegen
∂
∂xk 1 1
= 0 + O(
r r2) ,
∂
d
f(t − r/c) = −xk f ,
∂xk cr dt
(5.183)
wirkt in dieser Näherung ∂/∂xi wie die Zeitableitung, multipliziert mit der Komponente
−n i der Richtung zur Quelle. Daher ist das Magnetfeld B = rot A = − n
c × ˙ A,
Bfern(t,x) = − 1
c2r n ר P ¨
− n × M
1
+
6c
und das elektrische Feld E = − −−→
gradφ − 1 ∂
c ∂t A = n
c ˙ φ − 1 ˙A, c
E i 1
fern (t,x) = −
c2r (δij − n i n j )¨ P ¨
− n × M
1
+
6c
...
Qn, (5.184)
...
Qnj
. (5.185)
Da (δ ij − n i n j ) Vektoren v auf ihren zu n senkrechten Teil v⊥ projiziert, ist E = − ˙ A⊥/c
und B = n × E. In der Fernzone bilden also n, E und B ein orthogonales Rechtssystem,
wobei E und B gleich groß sind. Die Energiestromdichte S (5.31) ist nach außen gerichtet
Sfern = c
4π Efern × Bfern = cn 1
8π ( E 2 fern + B 2 fern) . (5.186)
Beschleunigte Ladungen strahlen Energie ab.
5.7 Wirkungsprinzip
5.7 Wirkungsprinzip 109
Die inhomogenen Maxwellgleichungen (5.16) sind die Feststellung, daß die Wirkung
W[A, φ] des Viererpotentials Am(x) und weiterer Felder φ, die wir Materiefelder nennen,
aber im folgenden nicht genauer angeben,
W[A, φ] = WMaxwell[A] + WMaterie[A, φ] , (5.187)
W[A]Maxwell = − 1
d
16πc
4 xη km η ln∂kAl − ∂lAk∂mAn − ∂nAm, (5.188)
für physikalische Felder stationär ist bezüglich aller Variationen δAm(x), die am Rand
des Integrationsgebietes verschwinden. Die Variationsableitungen von WMaterie nach den
Materiefeldern legt die Bewegungsgleichungen der Materie fest. Mit den Einzelheiten
dieser Bewegungsgleichungen wollen wir uns allerdings nicht beschäftigen.
Es ist die Ableitung δW
eines Funktionals definiert durch (4.21)
δA
1
δW[A, δA] = lim (W[A + λδA] − W[A]) = d
λ→0 λ 4 xδAl(x) δW
. (5.189)
δAl(x)
Setzen wir in WMaxwell die variierten Felder A + λδA ein und leiten wir nach λ ab, so
erhalten wir für die Änderung von WMaxwell vier Terme mit δA von gleicher Form, die
sich zu
δWMaxwell = − 1
d
4πc
4 xη km η ln ∂nAm (∂k δAl)∂mAn − (5.190)
summieren. Formen wir den Integranden mit der Produktregel der Differentation um
∂kη km η ln δAl∂mAn − ∂nAm−δAl ∂kη km η ln∂mAn − ∂nAm, (5.191)
so können wir den ersten Term integrieren. Er trägt nur zu Randtermen bei und verschwindet
für Variationen δAl(x), die am Rand verschwinden. Am zweiten Term lesen
wir die Variationsableitung der Maxwellwirkung nach Al(x) für Variationen ab, die am
Rand verschwinden
δWMaxwell
=
δAl
1
4πc ∂kF kl , (5.192)
wobei F kl = η km η ln Fmn (5.13) und Fmn(x) = ∂mAn(x) − ∂nAm(x) (5.80) ist.
Wir nennen die Variationsableitung der Materiewirkung den Strom j
δWMaterie
δAl
= − 1
c 2jl . (5.193)
Mit dieser Notation sind die inhomogenen Maxwellgleichungen (5.16) die Bedingung,
daß die Gesamtwirkung WMaxwell +WMaterie stationär ist und verschwindende Variationsableitungen
hat
0 = 4πc δW
δAl
= ∂kF kl − 4π
c jl . (5.194)
Die homogenen Maxwellgleichungen (5.10) sind wegen der Definition der Feldstärken
Fmn(x) = ∂mAn(x) − ∂nAm(x) (5.80) identisch erfüllt.