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294 F Einige Standardformen der Metrik
Die Schwarzschildlösung ist in harmonischen Koordinaten (t, x 1 , x 2 , x 3 ) und in zugehörigen
Kugelkoordinaten (t, ˆr, θ, ϕ), wenn i die Werte 1, 2, 3 durchläuft,
gkldx k dx l =
= ˆr − l
ˆr − l
ˆr + l (dt)2 − (1 + l
ˆr )2dx i dx i + l
−ˆr
ˆr − ll 2
ˆr + l (dt)2 ˆr + l
−
ˆr − l (dˆr)2 − (ˆr + l) 2(dθ) 2 + sin 2 θ(dϕ) 2.
ˆr 4(xi dx i ) 2 , ˆr 2 = x i x i ,
(F.7)
Identifiziert man r = ˆr + l und l = r0/2, so stimmt die Metrik mit (6.15) überein.
Das Volumenelement √ g in harmonischen Koordinaten berechnet man aus dem Produkt
der Eigenwerte der Matrix mit Elementen gkl. Durch Multiplikation mit der Metrik
werden Vektoren u mit nur einer Zeitkomponente mit g00 = (ˆr − l)/(ˆr + l) gestreckt,
Vektoren v in Richtung von x i mit −(ˆr + l)/(ˆr − l) und zwei zu u und v senkrechte
Vektoren mit −(1 + l/ˆr) 2 ,
√ g = (1 + l
ˆr )2 . (F.8)
Mit dem Ansatz √ gg ij = aδ ij +bx i x j berechnet man √ gg mp aus √ gg mp gpn = √ gδ m n ,
√ gg ij = −δ ij + l 2
ˆr 4xi x j , √ gg 0i = 0 , √ gg 00 =
und kann ∂m( √ gg mn ) = 0 einfach durch Differenzieren bestätigen.
Synchronisiertes Bezugssystem
(ˆr + l)
+
(ˆr − l)1 l
ˆr2 , (F.9)
Durch Wahl einer Funktion T kann man Schichten T = konst definieren. Der Vektor
u, u m = g mn ∂nT, ist, wenn sein Längenquadrat nicht verschwindet, ∂mT∂nTg mn = 0,
linear unabhängig von den Tangentialvektoren v der Schichten, denn er steht auf ihnen
senkrecht, v m ∂mT = 0, und ist nicht lichtartig.
Führt man in in einer genügend kleinen Umgebung U eines Punktes p in der Schicht, in
der er liegt, Koordinaten (x 1 , . . .,x d−1 ) ein und verwendet man als x 0 -Koordinate für alle
Punkte q in U den Wert T der Schicht, in der q liegt, so kann man als weitere Koordinaten
von q die Koordinaten (x 1 , . . .,x d−1 ) des Punktes wählen, in dem die Integralkurve von
u durch q diejenige Schicht schneidet, in der p liegt. In diesen Koordinaten ist die Metrik
blockdiagonal
g0i = ∂0ó∂i = 0 , i ∈ {1, 2, . . ., d − 1} , (F.10)
denn ∂0 ist in Richtung von u und senkrecht auf ∂i, i = 1, . . .,d − 1.
Durch geschickte Wahl von Schichten x 0 = konst, wenn man nämlich als Funktion T(q)
den Abstand des Punktes q zur Fläche T = 0 wählt, läßt sich zudem g00 = 1 erreichen.
Dazu wählen wir zunächst eine Schicht x 0 = 0 so, daß ihre Tangentialvektoren überall
raumartig sind. Durch jeden Punkt p in einer genügend kleinen Umgebung der Schicht
geht genau eine geodätische Linie (6.13), deren Tangentialvektor v Einheitslänge hat
und die Schicht x 0 = 0 senkrecht schneidet. Verwenden wir als Zeitkoordinate x 0 für p
die Länge dieser Linie zur Schicht und wählen wir die übrigen Koordinaten x 1 , . . ., x d−1
so, daß sie längs der Linie konstant sind, also gleich den Koordinaten des Schnittpunktes
der geodätischen Linie mit der Schicht, so sind die Koordinatenlinien x0 (s) = s, xi (s) =
xi (0), i = 1, . . .,d−1, geodätisch und haben einen Tangentialvektor dxm = (1, 0, . . ., 0).
ds
Da er Einheitslänge hat, gilt g00 = 1. Zudem erfüllt xm (s) die Geodätengleichung (6.13),
0 = ¨x n + Γkl n ˙x k ˙x l = 0 + Γ00 n . Dies besagt 0 = 2gmnΓ00 n = ∂0gm0 + ∂0gm0 − ∂mg00, und
da g00 = 1 ist, ändert sich gm0 nicht mit der Zeit längs der geodätischen Linien. Da sie
die Schicht x0 = 0 senkrecht schneiden, gilt dort g0i = 0, also gilt überall
295
g00 = 1 , g0i = 0 , i ∈ {1, 2, . . ., d − 1} , (F.11)
in einer genügend kleinen Umgebung der Schicht x 0 = 0. Die zugehörigen Koordinaten
heißen Gaußsche Koordinaten oder synchronisiertes Bezugssystem.
Im synchronisierten Bezugssystem ruhende Teilchen sind frei fallend, denn sie durchlaufen
geodätische Weltlinien. Das Bezugssystem heißt daher auch mitfallendes Bezugssystem.
Es wird singulär, wenn sich die Weltlinien der ortsfesten, frei fallenden Teilchen
schneiden.
Statische Raumzeit
Ein d-dimensionales Raumzeitgebiet, in dem ein zeitartiges Killingfeld ξ m , ξ 2 > 0, existiert,
heißt stationär. Das Killingfeld definiert an jedem Punkt einen d−1-dimensionalen
Raum V⊥ derjenigen Tangentialvektoren v, die senkrecht auf ξ stehen, v n (gnmξ m ) = 0.
Die Raumzeit heißt statisch, wenn dieser Unterraum V⊥ an jedem Punkt tangential zu
einer Schicht gleicher Zeit T(x) = konst ist.
Für Tangentialvektoren v an Schichten gleicher Zeit gilt v(T) = v n ∂nT = 0, denn T
ändert sich nicht längs Kurven, die in einer Schicht gleicher Zeit verlaufen. Der Raum
V⊥ stimmt mit dem Tangentialraum an eine Schicht gleicher Zeit genau dann überein,
wenn ξn = gnmξ m an jedem Punkt ein nichtverschwindendes Vielfaches des Gradienten
von T ist, ξn = f∂nT, f = 0. Dies wiederum ist genau dann der Fall, wenn die
antisymmetrisierte Ableitung von ξn/f verschwindet. Dann gilt
∂mξn − ∂nξm = amξn − anξm . (F.12)
In d = 2 Dimensionen ist diese Gleichung immer erfüllt. Wir rechnen mit der torsionsfreien,
metrikverträglichen kovarianten Ableitung und können die partiellen Ableitungen
durch kovariante Ableitungen ersetzen. Die symmetrisierte, kovariante Ableitung
Dmξn + Dnξm = 0 verschwindet, da ξ ein Killingfeld ist (E.29). Folglich gilt
Dmξn = 1
2amξn − anξm, (F.13)
und durch Multiplikation mit ξ können wir am, das nur bis auf beliebige Vielfache von
ξm definiert ist, identifizieren
∂m(ξóξ) = 2(Dmξn)ξ n = (ξóξ)am − (aóξ)ξm , am = 1
ξ 2∂mξ 2 + bξm . (F.14)