papiersparender pdf-Version

274 E Konforme Abbildungen
Konform flache Metrik
Wir nennen eine Metrik gkm konform flach, wenn sie in einer genügend kleinen Umgebung
jedes Punktes einer flachen Metrik ˆgkm, ˆ Rklm n = 0, konform verwandt ist. Dies ist genau
dann der Fall, wenn der Weyltensor und der Cottontensor
Rkl m = DkRlm − DlRkm −
1
2(d − 1) (gmlDkR − gmkDlR) (E.18)
verschwinden. Um dies zu zeigen, schreiben wir (E.14) mit Hilfe von (E.15) im Fall
ˆRkm = 0 als Differentialgleichungssystem für Ω und vk = DkΩ
DkΩ = vk , Dkvm = − 1
d − 2 Ω(Rkm −
1
2(d − 1) gkmR) + Ω −1 (2vkvm − 1
2 gkmg rs vrvs) .
(E.19)
Notwendigerweise müssen nach erneutem Ableiten und Antisymmetrisieren in den Ableitungsindizes
beide Seiten übereinstimmende Ergebnisse liefern.
Ohne weitere Einschränkung ist die Bedingung [Dl, Dk]Ω = 0 = Dlvk − Dkvl erfüllt.
Die Bedingung −Rlkm n vn
kürzenden Notation
C.54
= [Dl, Dk]vm = Dl(Dkvm) − Dk(Dlvm) besagt mit der ab-
rkm = Rkm −
1
2(d − 1) gkmR , (E.20)
−Rlkmnv n = 1
d − 2(gkmrln − gknrlm − glmrkn + glnrkm)v n + Ω(Dkrlm − Dlrkm).
(E.21)
Auf die linke Seite gebracht kombinieren sich die rkm-Terme mit dem Riemanntensor
zum Weyltensor. Er verschwindet notwendig, weil er mit dem Weyltensor der konform
verwandten, flachen Metrik übereinstimmt. Folglich gilt bei konform flacher Metrik
−Wlkmnv n = 0 = Ω
d − 2Dkrlm − Dlrkm. (E.22)
Weil Ω nicht verschwindet, muß notwendig der Cottontensor verschwinden.
Verschwinden der Weyltensor und der Cottontensor, dann existiert nach dem Satz
von Frobenius, den man leicht auf kovariante Ableitungen verallgemeinert, in einer genügend
kleinen Umgebung jedes Punktes eine nullstellenfreie Lösung Ω von (E.19). Sie
ist eindeutig durch den frei wählbaren Wert von Ω und DkΩ an einem Punkt festgelegt.
Die konform verwandte Metrik Ω 2 gmn hat nach (E.14) verschwindenden Riccitensor ˆ Rkm
und verschwindenden Weyltensor, also verschwindenden Riemanntensor, ˆ Rklm n = 0.
Im d = 3 dimensionalen Raum sind Metriken genau dann konform flach, wenn Rkl m =
0 verschwindet, denn der Weyltensor verschwindet dort identisch. In mehr als drei Dimensionen
sind Metriken genau dann konform flach, wenn der Weyltensor verschwindet;
denn wenn man für DnWklm n die kontrahierte zweite Bianchi-Identität (C.62)
DnRklm n = −DkRlnm n − DlRnkm n = −DkRlm + DlRkm
(E.23)
verwendet, erhält man
E.2 Killinggleichung
E.2 Killinggleichung 275
DnWklm n d − 3
= −
d − 2 Rkl m . (E.24)
Eine Mannigfaltigkeit M mit Metrik gmn(x) ist einer Mannigfaltigkeit N mit Metrik
gmn(x ′ ) konform, wenn es eine invertierbare Abbildung Φ : x ↦→ x ′ (x) von M auf N
gibt, die auf M eine zu gmn(x) konform verwandte Metrik induziert (A.142)
∂x
∂xk ′ m
′ n ∂x
∂xl gmn(x ′ (x)) = e λ(x) gkl(x) . (E.25)
Der konforme Faktor e λ(x) kann vom Ort abhängen, aber nicht verschwinden.
Die Abbildung Φ bleibt konform, wenn statt gmn(x) auf M und statt gmn(x ′ ) auf N
konform verwandte Metriken Ω 2 gmn zugrunde gelegt werden.
Unter der konformen Abbildung Φ bleiben Größenverhältnisse von Tangentialvektoren
am selben Punkt x, die durch Φ∗ (A.138) verschleppt werden, und insbesondere Winkel
unverändert
Φ∗vóΦ∗w = v
k∂x′ m
∂x
n
wl∂x′ k ∂xl gmn(x ′ (x)) = e λ(x) v k w l gkl(x) = e λ(x) vów . (E.26)
Infinitesimale Kugelflächen v2 = konst werden auf infinitesimale Kugelflächen abgebildet.
Wenn der konforme Faktor überall eλ(x) = 1 ist, so läßt die Abbildung Φ alle Längenquadrate
von Tangentialvektoren unverändert und ist eine Isometrie.
Die konforme Abbildung ist bis auf konforme Selbstabbildungen von M oder N eindeutig.
Ist Φ2 eine weitere konforme Abbildung von M auf N, so ist g = Φ−1 ◦ Φ2
eine konforme Selbstabbildung oder Transformation von M und h = Φ2 ◦ Φ−1 ist eine
konforme Transformation von N und es gilt Φ2 = Φ ◦ g = h ◦ Φ.
Die konformen Transformationen von M bilden eine Gruppe G. Sie ist H = Φ◦G◦Φ−1 ,
der konformen Gruppe von N, ähnlich.
Differenzieren wir eine einparametrige Schar Φα von konformen Transformationen
(E.25) nach dem Transformationsparameter bei α = 0, Φ0 = id, so erhalten wir mit
(A.144, A.148) und ǫ = 1
2∂αλ|α=0 die nach Wilhelm Killing [41] benannte konforme Killinggleichung
ξ k ∂kgmn + (∂mξ k )gkn + (∂nξ k )gmk − 2ǫgmn = 0 . (E.27)
Falls ǫ verschwindet, sprechen wir von der Killinggleichung. Das Killingfeld ξ ist eine
infinitesimale Isometrie; die Lieableitung der Metrik längs ξ verschwindet
ξ k ∂kgmn + (∂mξ k )gkn + (∂nξ k )gmk = 0 . (E.28)
Die Killinggleichung schränkt sowohl das Killingfeld ξ ein, nämlich, eine Symmetrie der
Metrik zu sein, als auch die Metrik, eine Symmetrie zu haben.