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240 C Elementare Geometrie
und daraus die kovariante Ableitung DX eines dualen Vektorfeldes X = Xbe b
Da(Xbe b ) = ea(Xb)e b + XbDae b = ea m (∂mXb − ωm b c Xc)e b . (C.39)
Die kovariante Ableitung eines Tensors S der Stufe (u, o) folgt aus (C.10)
DaSb...c d...e = ea m ∂mSb...c d...e + ωaf d Sb...c f...e + · · · + ωaf e Sb...c d...f −
− ωab f Sf...c d...e − · · · − ωac f Sb...f d...e .
(C.40)
Ein Tensor T der Stufe (u, o) mit einem festgewähltem, ersten Argument V definiert
durch T(V )(W, . . .,X) = T(V, W, . . .,X) einen Tensor T(V ) der Stufe (u − 1, o), zu
dessen kovarianter Ableitung DU(T(V )) die Ableitung von T und die Ableitung von V
beitragen
DU(T(V )) = (DUT)(V ) + T(DUV ) , (DUT)(V ) = DU(T(V )) − T(DUV ) . (C.41)
Entsprechendes gilt für andere und mehrere festgewählte Argumente.
Ist insbesondere T die kovariante Ableitung von S, T = DS, also (DS)(V ) = DV S,
so gilt für die zweite kovariante Ableitung DDS
(DDS)(U, V ) = (DUDS)(V ) = DU((DS)(V )) − (DS)(DUV ) = DUDV S − DDUV S .
(C.42)
Durch Antisymmetrisieren in U und V erhalten wir die Torsion und die Krümmung
DDS(U, V ) − DDS(V, U) =
= (DUDV S − DV DUS − D[U,V ]S) + D[U,V ]S − DDUV S + DDV US
= R(U, V )S − DT(U,V )S .
Hierbei ist R(U, V ) der Differentialoperator
(C.43)
R(U, V ) = DUDV − DV DU − D[U,V ] , R(U, V ) = −R(V, U) , (C.44)
und T(U, V ) ist der Vektor
T(U, V ) = DUV − DV U − [U, V ] , T(U, V ) = −T(V, U) , (C.45)
um den sich ein Parallelogramm mit Seiten U und V zu schließen fehlt. Dies zeigt der
Vergleich mit (C.12) für U = ea und V = eb
T(ea, eb) = Daeb − Dbea − [ea, eb] , Tab m = ωab c ec m − ωba c ec m − ea n ∂neb m + eb n ∂nea m .
Die Gleichung gilt auch für beliebige Vektorfelder U und V , weil DUV − DV U − [U, V ]
wegen der Produktregel [fU, V ] = f [U, V ]−V (f) U (A.153) funktionenlinear in U und V
DfUV − DV fU − [fU, V ] = fDUV − V (f) U − f DV U − f [U, V ] + V (f) U
= f(DUV − DV U − [U, V ])
(C.46)
C.3 Kovariante Ableitung 241
und demnach linear in den Komponentenfunktionen U a und V b ist. Daher definiert das
Vektorfeld T(U, V ) einen Tensor der Stufe (2, 1) mit Komponenten Tab c , die Torsion.
Der Differentialoperator R(U, V ) (C.44) ist funktionenlinear in U und V
R(fU, V ) = DfUDV − DV DfU − D[fU,V ] = fDUDV − DV fDU − Df[U,V ]−V (f)U
= f R(U, V ) − V (f) DU + V (f) DU = f R(U, V ) ,
und genügt der Produktregel
(C.47)
R(U, V ) SX = (R(U, V )S) X + S R(U, V )X . (C.48)
Er verschwindet auf skalaren Feldern f, denn die kovariante Ableitung von f längs V
ergibt das Skalarfeld DV f = V (f) = V m ∂mf (C.33), daher gilt DUDV f = U(V (f)) und
R(U, V )f = 0 . (C.49)
Auf ein Vektorfeld W angewendet, bewirkt R(U, V )W die infinitesimale Holonomietransformationen
(C.28), um die der parallel um das Flächenelement (U, V ) verschobene
Vektor vom Ausgangsvektor W abweicht
R(U, V, W) = −R(U, V ) i δiW = R(U, V ) W = DUDV W −DV DUW −D[U,V ]W . (C.50)
Die Formel ist richtig für Basisvektoren
R(ea, eb) ec = Da(Dbec) − Db(Daec) − D[ea,eb]ec
= Da(eb n ωn c d ed) − Db(ea n ωn c d ed) − [ea, eb] n ωn c d ed
= ea m eb n (∂mωn c d − ∂nωm c d − ωm c e ωn e d + ωn c e ωme d )ed = Rabc d ed
(C.51)
und gilt für beliebige Vektoren, weil R(U, V )W funktionenlinear nicht nur in U und V ,
sondern auch in W ist: R(U, V ) fW = (R(U, V )f) W + fR(U, V ) W = fR(U, V ) W.
Da das Vektorfeld R(U, V, W) an jedem Punkt linear von den Vektoren U, V und W
abhängt, definiert es den Riemanntensor, einen Tensor der Stufe (3, 1) mit Komponenten
Rabc d . Den Riemanntensor nennen wir auch einfach die Krümmung.
Auf duale Vektoren X = Xde d angewendet, bewirkt R(ea, eb) wegen der Produktregel
und weil es funktionenlinear ist und auf den Funktionen ec(e d ) = δc d verschwindet, die
kontragrediente Transformation
0 = R(ea, eb)(ec(e d )) = R(ea, eb, ec)(e d ) + ec(R(ea, eb)e d ) = Rabc d + ec(R(ea, eb)e d ) ,
R(ea, eb)e d = −Rabc d e c , R(U, V )X = −Rabc d U a V b Xd e c . (C.52)
Ein Tensor S der Stufe (u, o) hat nach Anwenden von R(ea, eb) die Komponenten
d1...do f d1...do f
R(ea, eb)Sc1...cu = − Rabc1 Sf...cu − · · · − Rabcu Sc1...f d1...do +
+ Rabf d1 f...do
Sc1...cu + · · · + Rabf do d1...f
Sc1...cu .
(C.53)
Die infinitesimale Holonomietransformation R(U, V ) = −R(U, V ) iδi arbeitet die einzel-
d1...do nen Indizes von Tensorkomponenten Sc1...cu so ab, wie eine Ableitung auf u + o
Faktoren eines Produktes wirkt. Nach der Produktregel entstehen u+o Terme, in denen
jeweils ein Faktor differenziert wird und die restlichen Faktoren ungeändert bleiben.
Für die Komponenten DaDbS = DDS(ea, eb) besagt (C.43)
(DaDb − DbDa)S = −Tab c DcS + R(ea, eb)S . (C.54)