papiersparender pdf-Version

258 D Die Lorentzgruppe
Zu jedem komplexen Eigenwert λ = σ + iτ der reellen Drehspiegelung D = D ∗ gehört
ein Eigenvektor mit komplexen Komponenten w i = u i + i v i . Zudem ist λ ∗ = σ − iτ
Eigenwert zu w ∗ i = u i − i v i . Denn da D = D ∗ reell ist, gilt 0 = ((D − λ1) i jw j ) ∗ =
(D − λ ∗ 1) i jw ∗ j .
Wegen der Orthogonalitätsrelation (D.2) und der Eigenwertgleichung gilt auch bei
komplexen Komponenten
(Dw ∗ ) i (Dw) i − w ∗ i w i = 0 = (λ ∗ λ − 1)w ∗i w i = (|λ| 2 − 1)(u 2 + v 2 ) , (D.6)
und weil u 2 + v 2 nicht Null ist, hat jeder Eigenwert einer Drehspiegelung den Betrag
|λ| 2 = 1 . Jeder reelle Eigenwert λ ist 1 oder −1. Der zugehörige reelle Eigenvektor ist
invariant, Dn = n, oder wird gespiegelt, Da = −a.
Ist der Eigenwert λ nicht reell, so bezeichnen wir im Eigenwertpaar λ und λ ∗ mit λ
den Eigenwert mit negativem Imaginärteil. Wegen |λ| = 1 und ℑ(λ) < 0 läßt sich λ mit
einem Winkel α aus dem Intervall 0 < α < π als cosα − i sin α schreiben. In Real- und
Imaginärteil zerlegt, besagt dann die Eigenwertgleichung
D(u + iv) = (cosα − i sin α)(u + iv)
Du = (cosα)u + (sin α)v
Dv = −(sin α)u + (cosα)v .
(D.7)
Die Gleichung (Dw) i (Dw) i − w i w i = 0 = (λ 2 − 1)w i w i = (λ 2 − 1)(u 2 − v 2 + 2iuóv)
erzwingt u 2 = v 2 und uóv = 0, falls λ nicht reell, also λ 2 = 1 ist.
Der reelle Unterraum U⊥ der Vektoren y, die auf einem reellen oder komplexen Eigenvektor
w senkrecht stehen, yów = 0, wird durch D auf sich abgebildet
yów = 0 = (Dy)ó(Dw) = λ(Dy)ów , D(U⊥) ⊂ U⊥ . (D.8)
U⊥ spannt zusammen mit u und v oder n oder a den gesamten Raum auf, denn da das
Skalarprodukt positiv definit ist, sind die Vektoren in U⊥ linear unabhängig von u und
v oder n oder a.
Ergänzen wir eine Basis von U⊥ durch e1 = u/|u| und e2 = v/|v| oder durch n/|n|
oder durch a/|a| zu einer Basis von V, so hat die Matrix D in dieser Basis die Form
Dα
α − sin α
±1
D = ˆD
, Dα =cos
oder D =
sin α cos α, ˆD
, (D.9)
wobei Nullen nicht ausgeschrieben sind und ˆ D eine orthogonale Transformation in U⊥
ist. Sie ist in angemessener Basis wieder von obiger Form. Es gibt daher für jede Drehung
D eine Orthonormalbasis, in der die zugehörige Matrix blockdiagonal von der Form
⎛
⎞
⎜
D = ⎜
⎝
Dα
. ..
Dβ
1
⎟
⎠
−1
(D.10)
D.1 Drehungen 259
ist, wobei 1 für einen Block von Eigenwerten 1 und −1
1
für einen anderen Block von
Eigenwerten −1 steht. Wenn die Dimension des Vektorraumes ungerade ist, muß ein
reeller Eigenwert 1 oder −1 auftreten, es gibt eine Drehachse oder eine Spiegelachse.
Bei Spiegelungen ist die Anzahl der Eigenwerte −1 ungerade, bei Drehungen gerade.
Jedes Paar −1
oder1
(D.11)
−1,
von Eigenwerten −1 oder 1 kann als zu einer Drehung Dπ um 180◦ oder als zu einer
Drehung D0 um α = 0 gehörig aufgefaßt werden.
Jede Drehung D kann als wiederholte infinitesimale Drehung δ geschrieben werden,
D = eδ . Denn definiert man für jeden 2 × 2-Block
δu = αv , δv = −αu , (D.12)
so gilt einfach δ 2 u = −α 2 u und δ 2 v = −α 2 v. Verwendet man dies in der auf u oder v
angewendeten Exponentialreihe e δ und trennt man dort gerade und ungerade Potenzen
e δ = 1
(2k)! δ2k + 1
(2k + 1)! δ2k+1 =
k
so erhält man (D.7)
k
k
(−1) k
(2k)! α2k +
k
(−1) k
(2k + 1)! α2kδ , (D.13)
e δ u = cosαu + sin αv , e δ v = − sin αu + cosαv . (D.14)
Definiert man für die zu den Eigenwerten 1 gehörigen Vektoren δn = 0, so ist e δ n =
δ 0 n = n und es gilt D = e δ auf den Vektoren ui und vi, die um einen Drehwinkel αi
gedreht werden, auf Paaren von Vektoren ak, die um α = π gedreht werden, Dak = −ak,
und auf den Drehachsen nj, Dnj = nj. Also gilt D = e δ auf einer Basis und daher im
ganzen Raum.
Da man die Drehwinkel stetig von Null auf α vergrößern kann, hängen alle Drehungen
stetig mit der 1 und untereinander zusammen. Folglich besteht die Gruppe der Drehspiegelungen
O(d) aus zwei Zusammenhangskomponenten, SO(d) und PóSO(d), wobei
die Paritätstransformation P einen Unterraum ungerader Dimension spiegelt, Pa = −a,
und den dazu orthogonalen Unterraum punktweise invariant läßt, Pn = n.
Drehungen in drei Dimensionen
In ungeraden Dimensionen hat jede Drehung einen Eigenwert 1, denn die Determinante
eines 2×2-Blocks (D.7) ist 1 und Eigenwerte −1 treten paarweise auf. Es gibt also in drei
Dimensionen für jede Drehung eine Achse n, deren Punkte ungeändert bleiben, Dn = n.
Die Drehachse steht senkrecht auf Vektoren u und v, auf die die Drehung mit (D.7) mit
0 ≤ α ≤ π wirkt. Normiert man n und u und wählt man geeignet das Vorzeichen von n,
so bilden n, u und v = n × u eine rechtshändige Orthonormalbasis.
Zerlegen wir einen Vektor k in Anteile, die parallel und senkrecht zur Drehachse sind,
k = k + k⊥, so schreibt sich in drei Dimensionen die Drehung als
D( k + k⊥) = k + (cosα) k⊥ + (sin α) (n × k⊥) . (D.15)