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226 B Liegruppe und Liealgebra
Das Transformationsgesetz für Erhaltungsgrößen hat also dieselbe Gruppenverknüpfung
wie die Transformationen der Koordinaten. Sind die Erhaltungsgrößen additiv und transformieren
Summen und Vielfache der Erhaltungsgrößen in Summen und Vielfache der
transformierten Erhaltungsgrößen,
(P + Q) ↦→ T(P) + T(Q) , (aP) ↦→ aT(P) , (B.28)
so wirken die Transformationen TΛ linear auf dem Vektorraum der additiven Erhaltungsgrößen
und sind eine Darstellung der Lorentztransformationen. Die einfachste Darstellung
der Lorentztransformationen ist die fundamentale Darstellung
TΛ(P) = Λ P , (B.29)
die als Transformationsgesetz des Viererimpulses auftritt. Die anderen möglichen Darstellungen
sind Tensortransformationen. Sie treten bei der Transformation des Drehimpulses
und des Energieschwerpunktes (4.118) auf.
Wählen wir im Vektorraum V Basisvektoren ea, wobei a die natürlichen Zahlen bis n
durchläuft, so gehört zu jeder linearen Transformation D eine Matrix – wir nennen sie
einfachheitshalber ebenfalls D und bezeichnen mit D b a ihre Matrixelemente in der Zeile
b und der Spalte a – deren Spalten die Komponenten der transformierten Basisvektoren
enthalten
D : ea ↦→ ebD b a . (B.30)
Insbesondere sind δ b a (A.29) die Matrixelemente der identischen Abbildung D = 1.
Ein Vektor v = eav a mit Komponenten v a wird von D linear auf einen Vektor mit
Komponenten v ′a = D a bv b abgebildet
D : eav a ↦→ (ebD b a)v a = ea(D a bv b ) . (B.31)
Das Matrixprodukt der zu linearen Transformationen gehörigen Matrizen gehört zu
den hintereinander ausgeführten Transformationen
ea
D2
↦→ ebD2 b D1
a ↦→ ecD1 c bD2 b a ,
D1 ◦ D2 : ea ↦→ ec(D1óD2) c a , (D1óD2) c a = D1 c bD2 b a .
Kontragrediente und konjugierte Darstellung
(B.32)
Lineare Abbildungen ϕ vom Vektorraum V in die reellen oder komplexen Zahlen können
addiert und mit Zahlen multipliziert werden und bilden den zu V dualen Vektorraum
V ∗ . Die linearen Abbildungen ϕ werden durch ihre Werte ϕ(ea) = ϕa auf Basisvektoren
festgelegt, denn v = eav a wird auf
ϕ(v) = ϕ(eav a ) = ϕ(ea)v a = ϕav a
(B.33)
abgebildet. Die Abbildungen e a ∈ V ∗ , die Vektoren v auf ihre Komponenten e a (v) = v a
abbilden, bilden die zu ea duale Basis des Dualraumes
e a (eb) = δ a b . (B.34)
B.2 Darstellungen 227
Jedes Element des Dualraumes läßt sich als ϕ = ϕae a schreiben, dabei sind ϕa die
Komponenten bezüglich der dualen Basis.
Zu jeder invertierbaren, linearen Transformation eines Vektorraumes gehört die kontragrediente
Transformation des dualen Vektorraumes, die durch die Forderung
ϕ ′ (v ′ ) = ϕ(v) (B.35)
definiert ist, daß jeder transformierte duale Vektor ϕ ′ auf transformierte Vektoren v ′
angewendet dasselbe ergibt wie der ursprüngliche duale Vektor ϕ auf den ursprünglichen
Vektor v. Für die duale Basis bedeutet dies
D : e a ↦→ e ′ a = D −1a be b . (B.36)
Transformieren die Komponenten von Vektoren durch Multiplikation mit einer Matrix
D, so transformieren unter der zugehörigen kontragredienten Transformation die Komponenten
von dualen Vektoren ϕ = ϕaea T −1
durch Multiplikation mit der Matrix D
ϕ = ϕae a ↦→ ϕae ′ a = ϕaD −1 a be b = (D T −1 a b ϕb)e a = ϕ ′ a ea = ϕ ′ . (B.37)
Sind Dg Darstellungsmatrizen, so sind wegen
T −1
D
g2óD
T −1
g1 = (DT g1óD T g2 )−1 = (Dg2óDg1) T −1 T −1
= Dg2g1 (B.38)
T −1
auch die transponierten, invertierten Matrizen Dg Darstellungsmatrizen. Die Darstellung
DT −1 heißt zu D kontragrediente Darstellung. Ebenso sind die komplex konjugierten
Matrizen Dg Darstellungsmatrizen und definieren die zu D komplex konjugierte
Darstellung D.
Mit jeder Darstellung D sind daher vier Darstellungen
D , D , D T −1 , D T −1 , (B.39)
natürlich gegeben. Die Darstellung ist reell, wenn die Darstellungsmatrizen reell sind,
T −1
Dg = Dg, orthogonal, wenn sie orthogonal sind, Dg = Dg, symplektisch, falls mit
einer schiefsymmetrischen Matrix jT T −1
= −j für jede Darstellungsmatrix D = jDgj−1 g
T −1
gilt, und unitär, wenn die Darstellungsmatrizen unitär sind, Dg = Dg.
Normalerweise sind die Darstellungen D, D, DT −1 und D T −1 = D † −1 verschieden.
Unter welcher Darstellung ein Vektor transformiert, geben wir durch das Indexbild seiner
Komponenten an
t ′ a = D a bt b , u ′ a = (D T −1 )a b ub ,
v ′ ˙a = (D) ˙a b˙ v ˙ b ′
, w ˙a = (D † −1 ˙b
)˙a w˙b .
(B.40)
Transformiert ein Vektor unter der Darstellung D, so bezeichnen wir seine Komponenten
mit einem oberen Index, transformiert er unter D T −1 , so schreiben wir den Index
unten. Zum komplex konjugierten Transformationsgesetz gehört ein gepunkteter Index.
Der erste Index der Matrixelemente D a b der Transformationsmatrix bezeichnet die
Zeile, der zweite die Spalte. Dabei schreiben wir den ersten Index von D nach oben.