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248 C Elementare Geometrie
C.5 Metrikverträgliche Parallelverschiebung
Ist für Tangentialvektoren u an jedem Punkt x ein Längenquadrat erklärt
u 2 |x = gmn(x)u m (x)u n (x) , gmn(x) = gnm(x) , (C.94)
so ist Parallelverschiebung verträglich mit der Metrik gmn(x), wenn sie die Länge des
Vektors nicht verändert, wenn also bis auf Terme der Ordnung (ξ) 2 gilt
(Pξu) 2 = u 2 . (C.95)
Setzen wir die Komponenten (C.3) des parallel verschobenen Vektors ein und berechnen
wir das Längenquadrat am Ort x + ξ, so heißt dies
0 =gmn(x + ξ)(u m − ξ k Γkl m u l )(u n − ξ k Γkl n u l ) − gmn(x)u m u n
=ξ k ∂kgmnu m u n − gmnu m ξ k Γkl n u l − gmnξ k Γkl m u l u n
=ξ k∂kgmn − gmlΓkn l − glnΓkm lu m u n .
Diese Gleichung gilt für alle ξ k und alle u m genau dann, wenn
(C.96)
∂kgmn − gmlΓkn l − glnΓkm l = 0 (C.97)
erfüllt ist, denn wir können in der Identität (C.96) die Komponenten von ξ und u als
Variable betrachten und nach ihnen differenzieren.
Parallelverschiebung ist genau dann metrikverträglich (C.97), wenn die kovariante
Ableitung (C.79) der Metrik verschwindet
Dkgmn = ∂kgmn − Γkm l gln − Γkn l gml = 0 . (C.98)
In basisunabhängiger Schreibweise heißt dies für Vektorfelder X, U und V
0 = (DXg)(U, V ) = DX(g(U, V )) − g(DXU, V ) − g(U, DXV ) (C.99)
oder in der Notation UóV = g(U, V ) = U m V n gmn
X m ∂m(UóV ) = (DXU)óV + Uó(DXV ) . (C.100)
Die Metrikverträglichkeit legt den symmetrischen Teil Skl m der Konnektion fest. Dies
sieht man, wenn man zur Vereinfachung die Notation
Γkl m = gmnΓkl n
(C.101)
einführt, Γkl m wie in (C.72) in einen symmetrischen und antisymmetrischen Teil zerlegt
und die permutierten Versionen von (C.97) geeignet linear kombiniert
∂kgmn − 1
2 Tkn m − 1
2 Tkm n = Skn m + Skm n
∂mgnk − 1
2 Tmk n − 1
2 Tmn k = Smk n + Smn k
−∂ngkm + 1
2 Tnm k + 1
2 Tnk m = −Snm k − Snk m .
(C.102)
C.5 Metrikverträgliche Parallelverschiebung 249
Addiert man diese drei Gleichungen, so heben sich wegen Skn m = Snk m und Smn k =
Snm k auf der rechten Seite vier Terme weg und man erhält
Skmn = 1
2∂kgmn + ∂mgnk − ∂ngkm− 1
2 Tkn m − 1
2 Tmn k . (C.103)
Wir verwenden, daß die Metrik invertierbar ist 4 , lösen Skl n = gnmSkl m nach Skl m durch
Multiplikation mit der inversen Metrik (A.106) auf und setzten in (C.72) ein.
Die Komponenten des metrikverträglichen, affinen Zusammenhangs sind
Γkl m = 1
2 gmn∂kgnl + ∂lgnk − ∂ngkl + Tnk l + Tnl k + Tkl n. (C.104)
Die zugehörige metrikverträgliche Spinkonnektion (C.69) eines Vielbeins, also einer
orthonormierten Basis eaóeb = ηab, schreibt sich wegen (A.104) mit der Notation ωc ab =
ec n ηbdωn a d und Tab c = ea k eb l em d ηcdTkl m als
ωc ab = 1
2ηcdea m eb n + ηadec m eb n − ηbdec m ea n∂men
+ 1
2Tca b − Tcb a − Tab c) .
d − ∂nem d+
(C.105)
Sie ist antisymmetrisch in den letzten beiden Indizes ωc ab = −ωc ba. Es sind ωn a b Vektorfelder,
die zur Liealgebra infinitesimaler Lorentztransformationen (B.13) gehören.
Der torsionsfreie Teil der metrikverträglichen, affinen Konnektion und der Spinkonnektion
ist, anders als die Eichfelder des Standardmodells, aus anderen Feldern, der
Metrik oder dem Vielbein, und ihren Ableitungen zusammengesetzt.
Die metrikverträgliche, torsionsfreie Konnektion heißt Levi-Civita-Konnektion. In der
Koordinatenbasis ist sie durch das Christoffelsysmbol gegeben
Γkl m = 1
2 gmn∂kgnl + ∂lgnk − ∂ngkl. (C.106)
Verschwindet die Torsion nicht, so trägt sie auch zum symmetrischen Teil Skl m der
metrikverträglichen Konnektion bei und macht sich in der Geradengleichung (C.114)
bemerkbar. Die Gerade ist dann nicht die Linie, die je zwei ihrer Punkte mit extremaler
Länge verbindet.
Schreiben wir die Lieableitung (A.149) der Metrik
mit kovarianten Ableitungen (C.80)
Lξgmn = ξ k ∂kgmn + (∂mξ k )gkn + (∂nξ k )gmk
(C.107)
Lξgmn = ξ k Dkgmn + (Dmξ k )gkn + ξ l Tlm k gkn + (Dnξ k )gmk + ξ l Tln k gmk , (C.108)
4 Ist die Parallelverschiebung metrikverträglich und die Metrik in einem Punkt invertierbar, so ist sie
in allen damit wegzusammenhängenden Punkten invertierbar.