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276 E Konforme Abbildungen
Mit kovarianten Ableitungen (C.109) geschrieben, lautet die Killinggleichung
Dmξn = ωmn , ωmn = −ωnm . (E.29)
Dabei ist ξm = gmnξ n , und die kovariante Ableitung wird mit der metrikkompatiblen,
torsionsfreien Levi-Civita-Konnektion, dem Christoffelsymbol (C.106), gebildet.
Notwendigerweise müssen nach erneutem Ableiten und Antisymmetrisieren in den
Ableitungsindizes beide Seiten von (E.29) übereinstimmende Ergebnisse liefern
−Rklm n ξn
(C.54)
= [Dk, Dl]ξm = Dkωlm − Dlωkm . (E.30)
Summieren wir die zyklisch vertauschten Versionen dieser Gleichung, so verschwindet
wegen der ersten Bianchi-Identität ○ kml Rklm n = 0 (C.110). Folglich verschwindet auch
○ klm Dkωlm, und es gilt Dkωlm + Dlωmk = −Dmωkl und
Dmωkl = Rklm n ξn . (E.31)
Auch bei (E.31) müssen bei erneutem Differenzieren und Antisymmetrisieren in den
Ableitungsindizes beiden Seiten dasselbe ergeben
−Rklm r ωrn − Rkln r ωmr = [Dk, Dl]ωmn = DkRmnl r ξr−DlRmnk r ξr. (E.32)
Also erfüllt jedes Killingfeld ξ und seine ersten Ableitungen ω das linear homogene,
algebraische Gleichungssystem
0 =DkRmnl s − DlRmnk sξs +Rklm r δ s n − Rkln r δ s m + Rmnl s δ r k − Rmnk s δ r lωrs . (E.33)
Maximal symmetrische Räume
Wenn das Gleichungssystem (E.33) den Rang Null hat, wenn also alle Koeffizienten bei
ξs und bei ωrs verschwinden, dann existieren in einer genügend kleinen Umgebung nach
dem Satz von Frobenius Lösungen des Gleichungssystems (E.29, E.31). Dabei kann man
die Werte von ξs und ωrs = −ωsr, dies sind in d Raumzeitdimensionen d + 1
d(d − 1) 2
Parameter, an einem Punkt frei wählen. Ist das Gleichungssystem (E.33) nicht identisch
in ξ und ω erfüllt, sind diese Parameter eingeschränkt und es gibt weniger als 1d(d
+ 1)
2
linear unabhängige Killingfelder.
In einem maximal symmetrischen Raum gilt also DkRmnl s − DlRmnk s = 0 und
Summieren mit δ n s ergibt
Rklm r δ s n − Rkln r δ s m + Rmnl s δ r k − Rmnk s δ r l = 0 . (E.34)
(d − 1)Rklm r = Rmkδl r − Rmlδk r , (E.35)
wobei Rkl = Rknl n der Riccitensor ist, und, wenn wir mit gnr multiplizieren,
(d − 1)Rklmn = Rmkgln − Rmlgkn . (E.36)
E.2 Killinggleichung 277
Weil der Riemanntensor im zweiten Indexpaar antisymmetrisch (C.25) und der Riccitensor
symmetrisch (C.112) ist, gilt
woraus durch Summieren mit g ln folgt
Rmkgln − Rmlgkn = −Rnkglm + Rnlgkm , (E.37)
Rkl = 1
d gklR , R = g kl Rkl . (E.38)
Wegen DkRmnl s − DlRmnk s = 0 ist der Krümmungsskalar R in maximal symmetrischen
Räumen konstant
0 = d(d − 1)DkRmnls − DlRmnks=∂kRgmlgns − gnlgms−k ↔ l . (E.39)
Also ist der Riemanntensor maximal symmetrischer Räume durch
mit einer Konstanten K gegeben.
Liealgebra der Killingfelder
Rklmn = Kgkmgln − glmgkn, K =
1
R , (E.40)
d(d − 1)
Die Menge der Killingfelder ist eine Liealgebra: sind ξ m 1 ∂m und ξ m 2 ∂m zwei Killingfelder,
so hat ihr Kommutator [ξ2 m ∂m, ξ1 n ∂n] = ξ3 n ∂n die Komponenten
ξ3 n = ξ2 m ∂mξ1 n − ξ2 m ∂mξ1 n = ξ2 m Dmξ1 n − ξ2 m Dmξ1 n = ξ2 m ω1 m n − ξ1 m ω2 m n . (E.41)
Insbesondere ist ω3 mn = Dmξ3 n = −ω3 nm und ξ3 m ∂m folglich ein Killingfeld
ω3mn = ω2 m l ω1 ln − ω1m l ω2 ln + ξ2 l ξ1 k (Rlnmk − Rlmnk) . (E.42)
Im maximal symmetrischen Raum (E.40) lautet diese Algebra in Vielbeinkomponenten
ξ a = ξ m em a , ωab = ea m eb n ωmn und ωa b = η bc ωac,
ξ3 a = ξ2 b ω1 b a − ξ1 b ω2 b a , ω3ab = ω2 a c ω1cb − ω1 a c ω2 cb + K(ξ2 aξ1 b − ξ1 aξ2 b) . (E.43)
Verwenden wir für K = 0 die Bezeichnungen ωa0 = −ω0a =|K|ξa, dann ist
Kξ2 aξ1b = η 00 ω2 a0ω10b mit η 00 = −sign(K), und die Liealgebra (E.43) ist, wie der
Vergleich mit (B.14) zeigt, für K > 0 die Liealgebra SO(p, q + 1) und für K < 0 die
Liealgebra SO(p + 1, q). Im flachen Raum, also für K = 0, ist (E.43) die Liealgebra der
Poincaré-Gruppe, die aus Lorentztransformationen SO(p, q) kombiniert mit Translationen
besteht, und die wir ISO(p, q), inhomogene, spezielle, orthogonale Gruppe, nennen.
In allen drei Fällen ist SO(p, q) die Unteralgebra der Killingfelder ξ|p = 0, die an einem
Punkt p verschwinden. Sie erzeugen die Stabilitätsgruppe dieses Punktes, genauer ihren
mit der identischen Abbildung zusammenhängenden Teil.