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154 7 Äquivalenzprinzip
so entkoppeln die vier Potentialfunktionen teilweise
D m DmAn + RnmA m = 0 . (7.71)
Im flachen Raum verschwinden der Riemann- und der Riccitensor und es gibt kartesische
Koordinatensysteme, in denen die Christoffelsymbole Null sind. Dann reduzieren sich
diese Gleichungen auf die Wellengleichung (5.90) im Vakuum.
Die Wellengleichung im gekrümmten Raum erhält man nicht aus der Wellengleichung
des flachen Raumes, indem man die partiellen Ableitungen durch kovariante Ableitungen
ersetzt. Über diese minimale Ersetzung hinaus enthält sie einen Zusatzterm mit dem
Ricci-Tensor, der nicht einfach einem Term im flachen Raum entspricht.
Die Variationsableitung der Maxwellwirkung nach der Metrik ist die Energie-Impulsdichte
des elektromagnetischen Feldes (7.4). Mit den Formeln (I.8) für die Ableitung
einer Determinante und der inversen Matrix (I.12) erhalten wir aus (7.62)
T mn 1 √
Maxwell = − gF
4πc
m l F nl − 1
4 gmn Fkl F kl. (7.72)
Diese elektromagnetische Energie-Impulstensordichte stimmt für den flachen Raum mit
(5.24) überein.
Abhängigkeitsgebiet
Da die Energie-Impulstensordichte T kl von Feldern u, die ihre Bewegungsgleichungen
erfüllen, kovariant erhalten ist (7.7),
∂lT ml + Γkl m T kl = 0 , (7.73)
sind in der gekrümmten Raumzeit die Energie und der Impuls der Materie normalerweise
nicht erhalten. Dann erscheint möglich, daß Materie, elektromagnetische Wellen oder
Gravitationsswellen aus dem Nichts entstehen oder spurlos vergehen.
Die folgenden Überlegungen räumen diesen Verdacht für jedes Feld u aus, dessen
Bewegungsgleichung von der Form ist
u + f(x, u, ∂u, ψ) = v(x, ψ) , = g mn ∂m∂n , (7.74)
wobei ψ weitere Felder und ihre Ableitungen bezeichne und die Metrik g mn Minkowskisignatur
hat, g 00 > 0, g 11 < 0, g 22 < 0, g 33 < 0.
Abhängigkeitsgebiet: Gibt man auf einer raumartigen Fläche A die anfänglichen
Werte von u und seine Zeitableitung ∂0u vor, dann hängt später in jedem Punkt p die
Lösung der Bewegungsgleichung nur von der Inhomogenität v und den Anfangswerten
im und auf dem Rückwärtslichtkegel von p ab.
Denn die Differenz zweier Lösungen mit gleicher Inhomogenität v und gleichen Anfangsbedingungen
erfüllt eine homogene Gleichung der Form u+ ˆ f = 0 3 mit verschwindenden
Anfangswerten und muß daher, wie wir gleich zeigen, verschwinden. Von nichts
kommt nichts.
3 ˆ f sei mindestens linear in u, ∂u, so daß | ˆ f(x, u, ∂u, ψ)| ≤ c |u| 2 + m |∂mu| 2 in einer Umgebung U
von (u, ∂u) = 0 gilt.
7.5 Lichtstrahlen 155
Zum Beweis verwenden wir ein Vierbein mit Komponenten ea m
ea m eb n gmn = ηab , g mn = ea m eb n η ab , e0 0 > 0 , (7.75)
und betrachten hilfsweise den Energie-Impulstensor eines massiven Skalarfeldes (m 2 > 0)
Tab = dau dbu − 1
2 ηab η cd dcu ddu + 1
2 ηab m 2 u 2 , da = ea m ∂m . (7.76)
Die Energiedichte T00(x, u, ∂u)
3
2 T00 = dnu dnu + m
n=0
2 u 2
ist an jedem Punkt x eine positiv definite quadratische Form in u und ∂u
(7.77)
T00(x, u, ∂u) ≥ 0 , T00(x, u, ∂u) = 0 ⇔ u = 0 = ∂u . (7.78)
Allgemeiner ist für jeden Vektor k aus dem Inneren des Vorwärtslichtkegel die quadratische
Form k a Ta0 positiv definit, denn für k = (1, k 1 , k 2 , k 3 ) ist
2k a Ta0 = d0u d0u + diu diu + 2k i diu d0u + m 2 u 2
= (d0u + k i diu) 2 + (diu diu) − (k i diu) 2 + m 2 u 2
≥ (d0u + k i diu) 2 + (diu diu)(1 − k j k j ) + m 2 u 2
(7.79)
eine positiv definite quadratische Form, falls (k 1 , k 2 , k 3 ) weniger als Einheitslänge hat.
Insbesondere ist die Nullkomponente des Stromes
j m (x, u, ∂u) = eb m η ba Ta0 = 1
2e0 l g mk + e0 k g ml − e0 m g kl∂ku
∂lu+
1
2 e0 0 m 2 u 2 (7.80)
eine positiv definite, quadratische Form in u, ∂u, denn k a = eb 0 η ba ist wegen g 00 > 0 aus
dem Vorwärtslichtkegel. Bis auf Terme, die keine zweiten Ableitungen von u enthalten,
gilt
∂mj m = 1
2e0 l g mk + e0 k g ml − e0 m g kl∂m∂ku ∂lu+. . .
=e0 l ∂lug mk ∂m∂ku + . . .
=e0 l ∂luu + ˆ f(x, u, ∂u, ψ)+h(x, u, ∂u, ψ)
(7.81)
Die Funktion h(x, u, ∂u, ψ) ist mindestens quadratisch in u, ∂u. Daher ist sie in jedem
kompakten Gebiet G der Raumzeit und der Felder ψ in einer genügend kleinen Umgebung
U von (u, ∂u) = 0 kleiner als ein Vielfaches der quadratischen Form j 0 . In G × U
kann so die Divergenz des Stromes abgeschätzt werden,
∂mj m ≤e0 l ∂luu + ˆ f(x, u, ∂u, ψ)+Cj 0 . (7.82)
Sei nun p ein Ereignis, das später als die Ereignisse auf der Anfangsfläche A stattfindet:
sein Rückwärtslichtkegel wird von A abgeschnitten. Durch jeden Punkt im Inneren dieses