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244 C Elementare Geometrie
an jedem Punkt orthonormal ist bezüglich eines Skalarproduktes und wenn der Paralleltransport
Längen unverändert läßt. Wegen ∂m = em a ea oder ea = ea m ∂m gilt nach
(C.68) für die affine Konnektion und die Spinkonnektion
Γkl m = ek a el b ec m ωab c − el b ∂keb m , (C.69)
ωab c = ea k eb l em c Γkl m − ea k eb l ∂kel c , (C.70)
und für verschiedene Koordinatenbasen ∂ ′ m = ∂xr
∂x ′m∂r besagt (C.68)
Γ ′ rs t (x ′ (x)) = ∂xk
∂x ′ r
∂xl ∂x
′ t ∂x
′ s ∂xmΓkl m (x) − ∂xk
∂x ′ r
∂xl ∂x
′ s
∂2 ′ t x
∂xk . (C.71)
∂xl Ist die Transformation x ′ (x) nicht affin, also nicht linear inhomogen von der Form Mx+a,
so transformiert die affine Konnektion inhomogen. In flachen Räumen gilt die einfache
Vorschrift für Parallelverschiebung, daß parallel verschobene Vektoren unveränderte
Komponenten haben und daß Γkl n verschwindet, nur in kartesischen Koordinatensystemen.
Sie hängen durch affine Transformationen miteinander zusammen.
Die symmetrischen und antisymmetrischen Anteile der affinen Konnektion
Skl m = 1
Γkl m = Skl m + 1
2 Tkl m , (C.72)
2Γkl m + Γlk m=Slk m , Tkl m = Γkl m − Γlk m = −Tlk m , (C.73)
transformieren getrennt voneinander
S ′ rs t (x ′ ) = ∂xk
∂x ′ r
T ′ rs t (x ′ ) = ∂xk
∂x ′ r
∂xl ∂x
∂xl ∂x
∂x
′ t ∂x
′ s ∂xmSkl m (x(x ′ )) − ∂xk
∂x ′ r
′ t
∂xl ∂x
∂
′ s
2 ′ t x
∂xk∂xl (C.74)
′ s ∂xmTkl m (x(x ′ )) . (C.75)
Denn die zweiten Ableitungen von x ′ nach x hängen nicht von der Reihenfolge der
Ableitungen ab und sind symmetrisch unter Vertauschen der Indizes k und l. Daher
transformiert der antisymmetrische Anteil Tkl m homogen als Tensor. Er besteht, wie wir
gleich sehen werden, aus den Komponentenfunktionen der Torsion.
Im Koordinatensystem x ′ n = xn + 1
2 (xk − ck )(xl − cl )Skl n , das in einer Umgebung
von xn = cn invertierbar mit x-Koordinaten zusammenhängt, verschwindet bei xn = cn gemäß (C.74) der symmetrische Teil der Konnektion. Er kann an jedem vorgegebenen
Punkt durch Wahl eines Koordinatensystems zum Verschwinden gebracht werden.
Die Torsion verschwindet in allen Koordinatensystemen, wenn sie in einem verschwindet.
Notwendig dafür, daß in einem Koordinatensystem alle Komponenten Γkl m der affinen
Konnektion überall verschwinden, ist offensichtlich, daß Torsion und Krümmung
verschwinden, denn wenn Γkl m = 0 überall gilt, verschwinden die Tensoren Tkl n und
Rklm n . Wenn umgekehrt Torsion und Krümmung verschwinden, so lassen sich Koordinatensysteme
finden, in denen die Komponenten der Konnektion verschwinden: zur Konstruktion
dieser Koordinaten verschleppt man von einem Ausgangpunkt eine Basis von
C.4 Basiswechsel 245
Tangentialvektoren parallel zu jedem anderen Punkt. Das Ergebnis ist wegunabhängig,
weil die Krümmung verschwindet. Zudem verschwindet mit der Torsion der Kommutator
dieser parallelen Vektorfelder. Dies ist notwendig und hinreichend dafür, daß sie
Tangentialvektorfelder ∂m mit [∂m, ∂n] = 0 sind, die zu Koordinatenlinien gehören.
Fassen wir eine Koordinatenbasis als Spezialfall einer Basis ea mit ea m = δa m und mit
Konnektion Γ auf, so besagen (C.12) und (C.20) für die Komponenten der Torsion und
der Krümmung bezüglich jeder Koordinatenbasis
Tkl m = Γkl m − Γlk m , Rklm n = ∂kΓlm n − ∂lΓkm n − Γkm r Γlr n + Γlm r Γkr n . (C.76)
Die kovarianten Ableitungen von Vektor- und Tensorfeldern (C.37, C.39, C.40) haben in
einer Koordinatenbasis die Komponenten
DmV n =∂mV n + Γmk n V k , (C.77)
DmXn =∂mXn − Γmn k Xk , (C.78)
DrWm...n k...l = ∂rWm...n k...l + Γrs k Wm...n s...l + · · · + Γrs l Wm...n k...s −
− Γrm s Ws...n k...l − · · · − Γrn s Wm...s k...l .
(C.79)
Obwohl die Lieableitung (A.149) ohne Konnektion gebildet wird, so läßt sie sich dennoch
durch kovariante Ableitungen ausdrücken
l1...ls m l1...ls
LξWk1...kr =ξ DmWk1...kr +
+ (Dk1ξ m l1...ls n m l1...ls
)Wm...kr + ξ Tnk1 Wm...kr + · · · −
− (Dmξ l1 m...ls n
)Wk1...kr − ξ Tnm l1 m...ls
Wk1...kr − . . . ,
denn alle Konnektionsterme auf der rechten Seite heben sich gegenseitig weg.
Liealgebrawertiger Zusammenhang
(C.80)
In jedem sternförmigen Gebiet kann man durch Basiswahl die Konnektion vereinfachen.
Ein sternförmiges Gebiet enthält definitionsgemäß einen Ursprung U und mit jedem
Punkt A eine Verbindungslinie, den Strahl ΓA von U nach A, wobei sich diese Strahlen
nur in U schneiden. Wir wählen in solch einem Gebiet am Ursprung eine Basis ea |U ,
verschieben sie parallel längs der Strahlen ΓA und wählen diese parallel verschobene
Basis als Basis an jedem Punkt A auf dem Strahl und daher im gesamten Gebiet
ea |A = PΓA ea |U . (C.81)
Verschiebt man diese Basis von einem Punkt A im Gebiet parallel längs einer beliebigen
Kurve Γ zu einem anderen Punkt B im Gebiet und entwickelt man in der dortigen Basis
PΓea |A = M −1 a b eb |B , (C.82)