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76 4 Relativistische Teilchen
Der Viererimpuls hängt nicht von der Parametrisierung der Weltlinie ab. Wir wählen
s = t, und erhalten wegen x0 = c t und v = dx
den Viererimpuls (3.45)
dt
p 0 =
m c
v 2
1 − c2 p = mv
v 2
1 − c2 , E =
.
m c2
v 2
1 − c2 ,
(4.104)
Die Nullkomponente des Viererimpulses, p 0 , ist bis auf einen Faktor c die Energie
E = c p 0 . Es ist ja p 0 die Erhaltungsgröße zu Translationen von x 0 = c t und E die
Erhaltungsgröße, die zu Translationen von t gehört. p = (p 1 , p 2 , p 3 ) ist der räumliche
Impuls.
Die Wirkung für N freie Teilchen ist einfach die Summe von Wirkungen (4.14), wobei
das i-te Teilchen die Bahnkurve x(i)(t) , i = 1, . . ., N, durchläuft
W[x(1), . . .,x(N)] =
N
i=1
Selbstverständlich bleibt der Gesamtimpuls
p m N
= p
i=1
m (i)
dx(i)
−mic ds . (4.105)
ds2
(4.106)
erhalten, denn schon jeder einzelne Viererimpuls ist wegen fehlender Wechselwirkung
der Teilchen eine Erhaltungsgröße. Aber anders als die einzelnen Impulse bleibt der
Gesamtimpuls auch bei Wechselwirkung eine Erhaltungsgröße, wenn die Wechselwirkung
invariant unter Translationen von Raum und Zeit ist. Dies besagt das Noethertheorem
(Seite 67). Wenn man den Beitrag der Wechselwirkung zum Impuls bei weit voneinander
entfernten Teilchen vernachlässigen kann, so ist dieser erhaltene Impuls durch die Summe
(4.106) der Impulse der einzelnen, genügend weit voneinander entfernten Teilchen
gegeben. Daß bei wechselwirkenden Teilchen die Energie und der räumliche Impuls erhalten
bleiben, ist in allen relevanten Experimenten und Beobachtungen bestätigt. Gemäß
Noethertheorem besagt diese beobachtete Energie- und Impulserhaltung, daß die Wirkung
unter Verschiebungen in der Raumzeit invariant ist oder, anschaulicher formuliert,
daß kein physikalischer Effekt ein Ereignis als Ursprung in der Raumzeit auszeichnet.
Allerdings bedurfte es einer ” verzweifelten Hypothese“ von Pauli, der ein Neutrino als
zusätzlichen Buchungsposten einführte, um die Energie-Impuls-Bilanz beim Betazerfall
auszugleichen. Jahrzehnte später wurde das Neutrino, mittlerweile genauer 3 Arten von
Neutrinos, nachgewiesen und seine postulierten Eigenschaften experimentell bestätigt.
Energie- und Impulserhaltung gilt nicht in der Allgemeinen Relativitätstheorie, wenn
die Metrik nicht invariant unter Translationen ist. Zum Beispiel kühlt im expandierenden
Universum, dessen Metrik zeitabhängig ist, die Hintergrundstrahlung ab, ohne
daß die dabei abnehmende Energie woanders erscheint. Der fehlenden Energieerhaltung
4.4 Symmetrien und Erhaltungsgrößen 77
entspricht die fehlende Invarianz unter Zeittranslationen: die Zeitentwicklung des Universums
zeichnet den Urknall als besonderes Ereignis aus.
Weil Skalarprodukte xóy = x 0 y 0 − x 1 y 1 − x 2 y 2 − x 3 y 3 = x k y l ηkl (2.42)
⎧
⎪⎨ 0 falls k = l ,
ηkl = 1 falls k = l = 0 ,
⎪⎩
−1 falls k = l ∈ {1, 2, 3}
, η =1
−1
−1
−1
á, (4.107)
unter Lorentztransformationen x k ↦→ Λ k nx n invariant sind, sind die Koeffizienten ω k n
jeder infinitesimalen Lorentztransformation
δωx k = ω k nx n
multipliziert mit ηmk Matrixelemente einer antisymmetrischen Matrix
Denn für alle x k und y l gilt
(4.108)
ωmn = ηmkω k n = −ωnm . (4.109)
0 = δω(x k y l ηkl) = (δωx k y l + x k δωy l )ηkl = (ω n kηnl + ω n lηkn)x k y l = (ωlk + ωkl)x k y l .
(4.110)
Hierbei haben wir für die infinitesimalen Transformationen, die Ableitungen nach den
Transformationsparametern sind, die Produktregel verwendet.
Weil Lorentztransformationen Skalarprodukte invariant lassen, ist auch die Lagrangefunktion
−m c ( dx
ds )2 (4.14) unter infinitesimalen Lorentztransformationen invariant.
Nach dem Noethertheorem gehört zu dieser Invarianz die Erhaltungsgröße
n ∂
Qω = δωx
∂ ˙x nL = −ωn mx m pn = 1
2 ωmn(x m p n − x n p m ) . (4.111)
Bei der letzten Umformung ist ausgenutzt worden, daß ω n mpn = ωnmp n gilt und daß aus
(4.109) ωmnx m p n = −ωnmx m p n = −ωklx l p k = −ωmnx n p m folgt.
Da Qω für jedes antisymmetrische ω eine Erhaltungsgröße ist, sind insbesondere
M mn = x m p n − x n p m , m, n = 0, 1, 2, 3 (4.112)
Erhaltungsgrößen. Es ist M mn = −M nm antisymmetrisch und nur 6 dieser Größen sind
unabhängig.
Für m, n = 1, 2, 3 handelt es sich um die drei Komponenten des Drehimpulses
Lx = x 2 p 3 − x 3 p 2 , Ly = x 3 p 1 − x 1 p 3 , Lz = x 1 p 2 − x 2 p 1 , L = x × p . (4.113)
Ebenso wie Translationsinvarianz die Erhaltung von Energie und Impuls von wechselwirkenden
Teilchen sichert, so hat Lorentzinvarianz, spezieller Invarianz unter der Untergruppe
der Drehungen, die Erhaltung des Drehimpulses zur Folge.