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128 6 Teilchen im Gravitationsfeld
Die zugehörigen physikalischen Bahnen sind geodätische Linien (C.114)
ˆ∂
ˆ∂x m1
2 gkl(x) ˙x k ˙x
l=
1
2 ∂mgkl ˙x k ˙x l − d
˙x
dsgml l=−gmn¨x n + Γkl n ˙x k ˙x l ) , (6.40)
wie man mit den gleichen Rechenschritten bestätigt, die zu (6.9) geführt haben.
Die Wirkung ist nicht invariant unter Reparametrisierungen s(s ′ ) der Weltlinie. Lösungen
der Bewegungsgleichungen gehen durch linear inhomogene Reparametrisierungen
s(s ′ ) = a s ′ + s(0) (6.41)
in Lösungen über. Zu der fehlenden Invarianz der Wirkung unter Reparametrisierungen
paßt, daß der Lichtstrahl selbst nicht die Frequenz des Lichtes festlegt, das ihn durchläuft.
Die Frequenz kommt der Parametrisierung des Lichtstrahls, genauer k0 = dx0 /ds, zu.
Die Lichtstrahlen im metrischen Feld einer kugelsymmetrischen Masse (6.15) bestimmen
wir aus den Erhaltungsgrößen.
Die Lagrangefunktion hängt nicht vom Bahnparameter s ab und demnach ist die zur
Translation des Bahnparameters gehörige Energie (4.57) erhalten. Diese Erhaltungsgröße
stimmt mit dem Längenquadrat L überein, denn die Lagrangefunktion ist wie kinetische
Energie quadratisch in den Ableitungen nach dem Bahnparameter. Da das Längenquadrat
des Tangentialvektors an die Lichtbahnen verschwindet, hat diese Erhaltungsgröße
den Wert Null
c 2 (1 − r0
r ) ˙t 2 ˙r
−
2
(1 − r0
r ) − r2θ˙ 2 2 2 2
− r sin θ ˙ϕ = 0 . (6.42)
Wie bei massiven Teilchen folgt aus der Drehinvarianz der Schwarzschildmetrik, daß
jede Bahnkurve eben ist und nach Wahl der Koordinatenachsen in der x-y-Ebene verläuft
θ = π
2 , ˙ θ = 0 . (6.43)
Der Winkel ϕ ist wegen Drehinvarianz eine zyklische Variable (4.55), und der zu ϕ
konjugierte Impuls L, er ist bis auf einen Faktor die z-Komponente des Drehimpulses,
ist konstant
L = − ∂L
∂ ˙ϕ = r2 ˙ϕ . (6.44)
Die Schwarzschildlösung ist statisch, die Lagrangefunktion hängt nicht von der Zeit t
ab. Also ist t eine zyklische Variable (4.55), und der zu t konjugierte Impuls ist auf der
Weltlinie des Teilchens konstant. Er ist bis auf einen Faktor die Energie E
E =1 − r0
rc 2 ˙t . (6.45)
Setzen wir in (6.42) ein und formen wir um, so erhalten wir effektiv einen Energiesatz
für die eindimensionale Bewegung der Radialkoordinate
1
2 ˙r2 + L2 r0 E2
(1 − ) = . (6.46)
2 r2 r 2 c2 6.5 Lichtstrahlen 129
Das effektive Potential besteht nur aus der relativistischen Drehimpulsbarriere
Veff(r) = L2
2r 21 − r0
r. (6.47)
Es wird extremal bei r = 3
2r0 und hat dort seinen maximalen Wert Vmax = 2
27
L2 r2 0
. Es läßt
also keine stabile, gebundene Bahn zu. Es fehlt nämlich, da das Längenquadrat lichtartiger
Tangentialvektoren Null und nicht c 2 ist, der Kepler-Anteil −r0c 2 /r im effektiven
Potential. Für r < 3
2 r0 wirkt die Drehimpulsbarriere anziehend.
Für die Ableitung von u(ϕ) = r0/r(ϕ) (6.25) besagt (6.46) mit c = 1
du 3 2 Er0
= u − u + (
dϕ2
L )2 = (u − u1)(u − u2)(u − u3) . (6.48)
Dies ist der Spezialfall m = 0 der Gleichung (6.26), mit der wir nun für E2 > m2 die
Ablenkung von Licht und von schnellen, massiven Teilchen gemeinsam untersuchen.
Das kubische Polynom hat drei reellen Nullstellen, u1 < u2 < u3, falls der Drehimpuls
genügend groß ist, 4L2 > 27E2r2 0 , und das Teilchen nicht in das Zentrum stürzt. Eine
von ihnen, u1, ist für E2 > m2 negativ. Denn das Produkt der Nullstellen ist negativ
und ihre Summe positiv (6.27).
Auf ihrer Bahn durchlaufen Teilchen, die abgelenkt werden, r-Werte von r = ∞ über
den Minimalabstand rmin zu r = ∞, also u-Werte von u = 0 zu u2 = r0/rmin und zurück
zu u = 0. Dabei nimmt der Winkel ϕ um δϕ zu,
u2
δϕ = 2 du
0
dϕ
= 2
du
u2
0
du
(u
. (6.49)
− u1)(u − u2)(u − u3)
Skalieren wir die Integrationsvariable, y = u/u2, so ist dieser Winkel
1
δϕ = 2
0
dy
(y − u1
u2 )(y − 1)(u2y − u3)
Hier sind wegen (6.27) u3 und u1 Funktionen von u2 und m r0/L,
u3 = 1 − (u1 + u2) , u1 =
1 − u2
2
. (6.50)
− 1
21 + 2u2 − 3u2 2 − 4( mr0
L )2 . (6.51)
Das Verhältnis u2 = r0/rmin von Schwarzschildradius zum Minimalabstand vom Sonnenmittelpunkt
ist für Bahnen, die an der Sonne vorbei laufen, klein. Zudem gilt für
schnelle Teilchen bis auf Terme höherer Ordnung in u2 und m 2 /E 2
m r0
L
≈ u2
Denn bei r = rmin ist L/m = rmin 2 ˙ϕ , ˙r = 0 und
rmin 2 ˙ϕ 2 =1 − r0
rmin˙t 2 − 1 =
m
E
. (6.52)
E2 m2 (1 − r0
rmin
E2
− 1 ≈ , (6.53)
) m2