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224 B Liegruppe und Liealgebra
Der Orbit einer Transformationsgruppe
Eine Gruppe G wirkt als Transformationsgruppe auf eine Mannigfaltigkeit M, wenn
jedes Element g der Gruppe eine invertierbare Selbstabbildung von M ist
g :M → M
p ↦→ g(p)
, (B.18)
wobei hintereinander Ausführen das Produkt g2(g1(p)) = (g2g1)(p) definiert.
Jeder Punkt p der Mannigfaltigkeit M definiert eine Untergruppe, die Stabilitätsgruppe
Hp des Punktes p, deren Elemente den Punkt p invariant lassen
Hp = {h ∈ G : h(p) = p} . (B.19)
Beispielsweise ist der Punkt x = (0, . . .,0, 1) ∈ R n bei Drehungen G = SO(n) invariant
unter den Drehungen Hx = SO(n − 1) in n − 1 Dimensionen.
Wie jede Untergruppe H einer Gruppe G, so definiert die Stabilitätsgruppe Hp durch
g Hp
∼ g ′ ⇔ g −1 g ′ ∈ Hp . (B.20)
eine Äquivalenzrelation zwischen Gruppenelementen von G. Zwei Transformationen g
und g ′ sind genau dann Hp-äquivalent, wenn sie p auf denselben Punkt abbilden
g(p) = g ′ (p) ⇔ p = g −1 g ′ (p) ⇔ g −1 g ′ ∈ Hp . (B.21)
Die Menge der Hp-Äquivalenzklassen bezeichnet man mit G/Hp.
Auf p angewendet erzeugt die Transformationsgruppe eine Untermannigfaltigkeit, den
Orbit Op durch p, der aus allen Punkten q besteht, in die p durch Elemente der Gruppe
G transformiert wird
Op = {q ∈ M : (∃g ∈ G : g(p) = q)} . (B.22)
Da jeder Punkt q des Orbits zu genau einer Äquivalenzklasse aus G/Hp gehört, ist der
Orbit die gleiche Mannigfaltigkeit wie die Menge aller Äquivalenzklassen
Op = G/Hp . (B.23)
Zudem wirkt die Transformationsgruppe G auf dem Orbit Op und auf G/Hp auf gleiche
Weise durch Linksmultiplikation. Der Orbit und seine Transformationen sind vollständig
durch die Gruppe G und die Untergruppe Hp festgelegt [62, Kapitel II, Theorem 3.2].
Beispielsweise erzeugen für n > 2 die Drehungen SO(n), auf x = (0, . . ., 0, 1) ∈ R n
angewendet, als Orbit die n − 1-dimensionale Kugeloberfläche S n−1 (S wie Sphäre)
SO(n)/SO(n − 1) = S n−1 , S n−1 = {y : (y i ) 2 = 1} ⊂ R n . (B.24)
Sind von einem Orbit nur die infinitesimalen Transformationen in einer Umgebung
bekannt, so handelt es sich bei dem Orbit um einen Quotienten G/Hp der zu allen infinitesimalen
Transformationen gehörigen universellen Überlagerungsgruppe G. Hp ist
B.2 Darstellungen 225
eine möglicherweise unzusammenhängende Untergruppe, deren mit der Eins zusammenhängende
Elemente von den infinitesimalen Transformationen erzeugt werden, die bei p
verschwinden.
Man nenntM eine Überlagerung einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit M,
wenn es eine stetige Abbildung π vonM nach M mit der Eigenschaft gibt, daß zu
jedem Punkt p ∈ M eine Umgebung U, p ∈ U, existiert, deren Urbild π −1 U = ∪iVi aus
einer abzählbaren Menge disjunkter Umgebungen Vi besteht, die durch π umkehrbar auf
U abgebildet werden. Ist q ein fest gewählter Punkt in M und bezeichnet Γp i Äquivalenzklassen
von Kurven von q zu p, die als äquivalent angesehen werden, wenn sie stetig
ineinander verformt werden können, so ist die Menge aller Γp i mit π : Γp i ↦→ p eine
Überlagerung von M. Sie ist universell, da sie Überlagerung jeder Überlagerung von M
ist.
Die infinitesimale Erzeugende von SO(2) erzeugt die additive Gruppe R der reellen
Zahlen, die Überlagerung von SO(2). Jeder Orbit ist ein Kreis S 1 oder seine Überlagerung
R oder besteht aus nur einem Punkt.
Die Stabilitätsgruppe Hq jedes Punktes q = g(p) des Orbits durch p ist zu Hp konjugiert
Hg(p) = gHpg −1 .
Existiert auf einem Orbit G/Hp ein Tensorfeld v, das unter allen zu g ∈ G gehörigen
Tensortransformationen Tg invariant ist, so hat es am Punkt p einen Wert v|p, der unter
Hp invariant ist, Thv|p = v|p ∀h ∈ Hp. An allen anderen Punkten q = g(p) des Orbits ist
v durch v|p festgelegt, v| g(p) = Tgv|p.
B.2 Darstellungen
Verschiedene Gruppen G und L können verwandte Gruppenverknüpfungen haben. In
solch einem Fall gibt es eine Abbildung
D :G → L
g ↦→ Dg
von Gruppenelementen g ∈ G auf Dg ∈ L, die Produkte auf Produkte abbildet
(B.25)
Dg1◦g2 = Dg1 ◦ Dg2 . (B.26)
Besteht dabei L aus der Gruppe GL(n) der invertierbaren, linearen Transformationen
eines n-dimensionalen Vektorraumes V, so heißt die Abbildung D Darstellung von G.
Eine n-dimensionale Darstellung bildet die Gruppe G auf GL(n) ab. Das Bild D(G) der
Gruppe G ist eine Untergruppe von GL(n).
Zum Beispiel gehört zu jeder Lorentztransformation x ↦→ x ′ = Λ x der Raumzeit auch
eine Transformation P ↦→ TΛ(P) der Erhaltungsgrößen P, die der jeweilige Beobachter
zum Beispiel an einem Teilchen feststellt. Hintereinander ausgeführte Transformationen
der Erhaltungsgrößen müssen mit derjenigen Transformation übereinstimmen, die zu
hintereinander ausgeführten Lorentztransformationen gehört
TΛ2Λ1(P) = TΛ2(TΛ1(P)) oder TΛ2Λ1 = TΛ2 ◦ TΛ1 . (B.27)