papiersparender pdf-Version

310 G Die Noethertheoreme
Noetheridentiät der Gravitation
Die Wirkung WMetrik[g]+WMaterie[g, φ] der Gravitation besteht aus zwei Teilen, die beide
invariant unter Koordinatentransformationen sind. Unter infinitesimalen Koordinatentransformationen
x ′ m = x m − ξ m transformiert die Metrik mit der Lieableitung (C.107)
δξgkl = ξ n ∂ngkl + ∂kξ n gnl + ∂lξ n gkn .
Dieses Transformationsgesetz ist von der Form (G.27), verallgemeinert auf den Fall, daß
der Parameter der Eichtransformation mehrere Komponenten ξ n hat und daß die Felder
durch zwei Indizes abgezählt werden
δξgkl = Nkl nξ n + Nkl n m ∂mξ n , Nkl n = ∂ngkl , Nkl n m = δ m kgln + δ m lgkn . (G.50)
Die Invarianz der Wirkung unter infinitesimalen Koordinatentransformationen mit beliebigen
Funktionen ξ k führt daher zur Noetheridentität (G.29)
ˆ∂
ˆ∂ξ kδξgmn
δW
. (G.51)
δgmn=0
Für die Einstein-Wirkung (8.3) ohne kosmologische Konstante heißt dies, daß die kovariante
Divergenz des Einsteintensors verschwindet,
ˆ∂
ˆ∂ξ kδξgmn
√
g G
mn= √ g DmG m k = 0 , (G.52)
was auch aus der zweiten Bianchi-Identität (C.62) durch zweifache Kontraktion folgt.
Für die Materiewirkung gilt (G.51), wenn die Materiefelder ihre Bewegungsgleichungen
erfüllen. Mit der Bezeichnung (7.4)
δWMaterie
δgmn
= − 1 mn
T
2
für die Variationsableitung besagt die Noetheridentität
(G.53)
(∂kgmn)T mn − ∂m(gknT mn ) − ∂n(gmkT mn ) = √ gDmT m k = 0 . (G.54)
Dies ist Gleichung (7.3), aus der wir lokale Energie-Impulserhaltung und die Geodäteneigenschaft
der Weltlinien frei fallender Teilchen abgeleitet haben.
Die Stromidentifizierungsgleichung (G.42) besagt, daß bis auf einen trivialen Strom
∂nB nm , B mn = −B nm , der Strom
j m = 1
2 ξn Nkl n m T kl = T mn ξn
(G.55)
derjenige erhaltene Strom ist, der zur Invarianz der Wirkung WMaterie[gB, φ] unter Isometrien
der fest gewählten Hintergrundmetrik gBmn gehört. Insbesondere sind die Isometrien
der flachen Metrik gmn = ηmn die Poincaré-Transformationen und definitionsgemäß
bilden die Ströme, die zur Invarianz unter Translationen gehören, den Energie-
Impulstensor. Es stimmt also T mn im flachen Raum bis auf Verbesserungsterme, das
G.4 Algebraisches Poincaré-Lemma 311
sind triviale Ströme, mit dem Energie-Impulstensor überein. Dies identifiziert die Variationsableitung
(G.53), die als Quellenterm in den Bewegungsgleichungen der Metrik
auftritt, als Energie-Impulstensordichte.
Daß die Quelle von Gravitation der Energie-Impulstensor ist, macht ein Äquivalenzprinzip
aus: alle Materie erzeugt unabhängig von ihrer Zusammensetzung auf gleiche Art
durch ihren Energie-Impulstensor Gravitation.
Die träge Masse ist der gravitationserzeugenden Masse gleich, denn der Energie-Impulstensor
ist nicht nur Quelle der Gravitation, er bestimmt auch durch seine Abhängigkeit
von der Geschwindigkeit der Teilchen ihre Trägheit, weil er unter anderem die
Impulsdichten enthält. Der Impulserhaltungssatz ∂mT mi + Γmn i T mn = 0 ist verantwortlich
für Trägheit, denn er besagt, daß für ein Teilchen eine Abweichung vom freien Fall
nur durch Impulsübertrag möglich ist, also durch eine Kraft, die einige Zeit wirkt.
G.4 Algebraisches Poincaré-Lemma
Nach dem Lemma von Poincaré (A.97) verschwindet in sternförmigen Gebieten die äußere
Ableitung einer Differentialform ω(x, dx) genau dann, wenn sie ihrerseits bis auf
einen von x und dx unabhängigen Teil die äußere Ableitung einer Form η(x, dx) ist
Für Differentialformen vom Typ
dω(x, dx) = 0 ⇔ ω = ω(0, 0) + dη(x, dx) . (G.56)
ω = ω(x, dx, φ, ∂φ, ∂∂φ, . . . ) , (G.57)
wie sie als Integrand einer lokalen Wirkung L d D x einer D-dimensionalen Feldtheorie
auftreten und die nicht nur von den Koordinaten, sondern auch von Feldern φ i und ihren
Ableitungen abhängen,
{φ i } = φ i , ∂φ i , ∂∂φ i , . . . , (G.58)
gilt in sternförmigen Gebieten das algebraische Poincaré-Lemma
dω(x, dx, {φ}) = 0 ⇔ ω(x, dx, {φ}) = ω(0, 0, 0) + dη(x, dx, {φ}) + L (x, {φ})d D x .
(G.59)
Dabei wirkt die äußere Ableitung d = dx m ∂m auf Jet-Differentialformen durch Differentation
der Koordinaten x m , die Ableitung der Jet-Variablen ist algebraisch und fügt
einen Index hinzu
d = dx m ∂m , ∂mx n = δ n
m , ∂k(∂l . . .∂mφ) = ∂k∂l . . .∂mφ . (G.60)
Die Felder genügen keinen Bewegungsgleichungen, das heißt die Variablen ∂k∂l . . .∂mφ
sind unabhängig bis auf die Tatsache, daß partielle Ableitungen in der Reihenfolge vertauscht
werden können ∂k . . .∂mφ=∂m . . .∂kφ .
Die Lagrangeform L (x, {φ})d D x in (G.59) ist nicht die Ableitung einer D − 1-Form
χ, wenn nicht alle Eulerableitungen
ˆ∂L ∂L
=
ˆ∂φ i ∂φ
i − ∂m
∂L
∂(∂mφi + . . . (G.61)
)