papiersparender pdf-Version

110 5 Elektrodynamik
Eulerableitung
Die Maxwellwirkung (5.188) ist ein lokales Funktional der Felder Al(x), das heißt, sie
läßt sich als Integral
W[A] = d 4 x L (x, A(x), ∂A(x)) (5.195)
über eine Lagrangedichte L (x, A, ∂A) schreiben, die von den Jet-Variablen x, Al, ∂kAl
und eventuell von höheren Ableitungen der Felder abhängt.
Die Variationsableitung einer lokalen Wirkung ergibt sich aus der Ableitung der Lagrangedichte
L (x, A + λδA, ∂(A + λδA)) nach λ
∂L
δL = ∂λL (x, A + λδA, ∂(A + λδA))|λ=0 = δAl
∂Al
+ (∂k δAl) ∂L
∂(∂kAl)
(5.196)
Dies können wir mit der Produktregel als Summe von vollständigen Ableitungen und
von Produkten mit undifferenzierten δAl schreiben
δL = δAl∂L
∂Al
− ∂k
∂L ∂L ˆ∂L ∂L
+ ∂kδAl (5.197)
∂(∂kAl)+∂kδAl
∂(∂kAl)=δAl
ˆ∂Al ∂(∂kAl).
Die Funktion ˆ ∂L der Jet-Variablen, die δAl nach Abwälzen der Ableitungen multipliziert,
ˆ∂Al
ˆ∂L
=
ˆ∂Al
∂L ∂L
−∂k
∂Al ∂(∂kAl) =
= ∂L
∂
− (∂k∂rAs)
∂Al
2L ∂
− (∂kAs)
∂(∂kAl)∂(∂rAs) 2L −
∂(∂kAl)∂As
∂2L ,
∂(∂kAl)∂xk (5.198)
heißt Eulerableitung der Lagrangedichte.
Die Lagrangedichte L ändert sich bei Änderung der Argumente um δAl mal der Eu-
∂L
lerableitung und um die vollständige Ableitung von δAl . Diese Identität in den
∂(∂kAl)
Jet-Variablen gilt unabhängig davon, welche Änderungen δAl wir betrachten, ob sie eine
beliebige Abweichung von physikalischen Feldern bezeichnet, die für große Raumzeitargumente
verschwindet, oder ob sie für die Änderung der Felder unter einer Transformationsgruppe
steht.
Aus (5.197) folgt die Variationsableitung der lokalen Wirkung
δW[A, δA] = d 4
ˆ∂L ∂L
x δAl + ∂kδAl . (5.199)
ˆ∂Al ∂(∂kAl)
Die Ableitungsterme können für alle Funktionen δAl(x) und Al(x) integriert werden und
tragen nur zu Randtermen bei. Betrachten wir Variationen δAl(x), die am Rand, das
heißt für große Werte der räumlichen oder zeitlichen Koordinaten, verschwinden, so verschwinden
diese Randterme. Daher ist die Variationsableitung jeder lokalen Wirkung
für Variationen der Felder, die am Rand verschwinden, die Eulerableitung der Lagrangedichte
δW
=
δAl
ˆ ∂L
. (5.200)
ˆ∂Al
5.8 Symmetrien 111
Physikalische Felder, wie das Viererpotential der Elektrodynamik, sind dadurch ausgezeichnet,
daß sie eine lokale Wirkung (5.195) extremal machen. Sie erfüllen mit geeigneter
Lagrangedichte L die Differentialgleichungen
5.8 Symmetrien
∂L
∂Al
− ∂k
∂L
⏐⏐Aphysikalisch = 0 . (5.201)
∂(∂kAl)⏐
Die homogenen Maxwellgleichungen behalten ihre Form in beliebigen Koordinatensystemen.
Seien die Koordinaten x(x ′ ) invertierbar als Funktion der Koordinaten x ′ gegeben
und seien die Feldstärken Fkl(x) als Lösungen der homogenen Maxwellgleichungen (5.10)
durch antisymmetrisierte Ableitungen eines Viererpotentials (5.80) Al(x) gegeben, dann
definiert
A ′ s (x′ ) = ∂xl
∂x ′ sAl(x(x ′ )) (5.202)
das zugehörige Viererpotential im gestrichenen Koordinatensystem.
Die Feldstärken im gestrichenen System
F ′ rs (x′ ) = ∂ ′ r∂x l
∂x ′ sAl(x(x ′ ))−∂ ′ s∂x l
∂x ′ rAl(x(x ′ ))
=∂ 2xl ∂x ′ r∂x ′ s − ∂2xl ∂x ′ s∂x ′ rAl +∂x k
∂x ′ r
∂xl ∂x
∂x
∂xk
−
′ s ′ s
∂x l
∂x ′ r∂kAl
(5.203)
hängen linear von den Feldstärken im anderen Koordinatensystem ab, denn jede in zwei
∂ Ableitungsindizes antisymmetrisierte Ableitung 2xl ∂x ′ r∂x ′ s − ∂2xl ∂x ′ s∂x ′ r verschwindet und im
letzten Term kann die Antisymmetrisierung durch Umbenennung der Summationsindizes
in eine Antisymmetrisierung in k und l umgeschrieben werden
F ′ rs (x′ ) = ∂xk
∂x ′ r
∂xl ∂x ′ sFkl(x(x ′ )) . (5.204)
Die Transformationen (5.202, 5.204) sind Tensortransformationen (A.128). Die transformierten
Komponenten als Funktion der Koordinaten x ′ sind linear in den ursprünglichen
Komponenten am Ort x(x ′ ). Zudem treten passend zum Indexbild Transformati-
onsmatrizen ∂x
∂x ′ auf. Weil die Transformation linear ist, sind Summe und Vielfache von
Tensoren gleichen Transformationsgesetzes wieder Tensoren und bilden Vektorräume.
Die Assoziativität des Tensortransformationsgesetzes folgt aus der Kettenregel der
Differentation, denn sei x ′ durch eine weitere Koordinatentransformation als Funktion
von x ′′ gegeben, so gilt für die verkettete Funktion x(x ′ (x ′′ ))
∂x k
∂x
∂x
∂x′m
=
′′ r ′′ r
∂x k
. (5.205)
∂x ′ m