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68 4 Relativistische Teilchen
tung sich das Teilchen bewegt. Besteht die Lagrangefunktion aus solch einer verschiebungsinvarianten
kinetischen Energie und ist die potentielle Energie in einer Richtung c
konstant V (x) = V (x + α c), so ist die Lagrangefunktion unter der Verschiebung (4.40)
invariant, δL = 0 .
Die zur infinitesimalen Verschiebung δx k = c k und Lagrangefunktion (4.19) gehörige
Erhaltungsgröße (4.48)
c k∂L
∂ ˙x k = ck p k , p k = m ˙x k
(4.53)
ist definitionsgemäß der nichtrelativistische Impuls p in Richtung des Vektors c. Verschiebungsinvarianz
ist die Ursache von Impulserhaltung.
Eine Variable x, die in der Lagrangefunktion nur mit ihrer Geschwindigkeit ˙x auftritt,
heißt zyklische Variable
x zyklisch ⇔ ∂L
= 0 . (4.54)
∂x
Ist x zyklisch, so ist die Lagrangefunktion invariant unter der infinitesimalen Translation
δx = 1, δ ˙x = 0, und die Noether-Ladung (4.48) stimmt mit dem zu x kanonisch konjugierten
Impuls überein, Q = ∂L . Er ist wegen der Euler-Lagrange-Gleichungen (4.33)
∂ ˙x
offensichtlich erhalten
∂L
∂x
= 0 und ∂L
∂x
d ∂L
−
dt ∂ ˙x
d ∂L
= 0 ⇒
dt ∂ ˙x
= 0 . (4.55)
Ist die Wirkung invariant unter Drehungen um eine Achse n (4.42), so ist die zugehörige
Noether-Ladung definitionsgemäß der Drehimpuls nó L in Richtung dieser Achse.
Zur Zeitverschiebung (4.41) gehört gemäß (4.43) die infinitesimale Transformation
δx k = ˙x k . (4.56)
Dies ist eine infinitesimale Symmetrie der Wirkung, falls die Lagrangefunktion L (t, x, ˙x)
nicht von t abhängt, ∂tL = 0, denn dann gilt
δL = δx k ∂ x kL + ( d
dt δxk )∂ ˙x kL = ˙x k ∂ x kL + ¨x k ∂ ˙x kL = dL
dt − ∂tL = dL
dt ,
also (4.47) mit K = L .
Die zur Symmetrie unter Zeitverschiebung gehörige Noether-Ladung (4.48)
k ∂
E = ˙x L − L (4.57)
∂ ˙x k
ist definitionsgemäß die Energie E. Sie ist erhalten, wenn die Lagrangefunktion nicht
von der Zeit abhängt.
Aus (4.57) folgt (4.18), wie sich die Lagrangefunktion aus den Anteilen En der Energie
zusammensetzt, die homogen vom Grad n in den Geschwindigkeiten ˙x sind. Der Operator
˙x∂˙x zählt den Homogenitätsgrad in Geschwindigkeiten ab: ˙x∂˙x( ˙x) n = n( ˙x) n . Jeder Term
En in der Energie, der n Faktoren ˙x enthält, n = 1, muß in der Lagrangefunktion mit
Vorfaktor 1/(n − 1), erscheinen, damit (4.57) E = n En lautet.
4.4 Symmetrien und Erhaltungsgrößen 69
Die Definition (4.57) der Energie kann als Definition der Hamiltonfunktion gelesen
werden
H (x, p) = ˙x k pk − L (x, ˙x) , pk = ∂ ˙x kL . (4.58)
Dabei werden statt des Ortes x n und der Geschwindigkeit ˙x k die Phasenraumvariablen,
der Ort x n und der kanonisch konjugierte Impuls pk, als unabhängig betrachtet und die
Geschwindigkeiten ˙x k (x, p) als Umkehrfunktionen von pk = ∂ ˙x kL (x, ˙x) aufgefaßt.
In Phasenraumvariablen lautet die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators
HOszillator = p2
+ κx2 . (4.59)
2m 2
Formuliert man die Bewegung von Teilchen im Phasenraum, so hat ihre Zeitentwicklung
die Eigenschaft, flächentreu bezüglich des Flächenmaßes dpidxi −dHdt zu sein [25].
Auf dieser wichtigen geometrischen Eigenschaft beruht das Kolmogorov-Arnold-Moser-
Theorem [26] und die daraus folgenden Schlüsse, daß schon kleine Störungen integrabler
Bewegungen zu chaotischen Bahnen führen [27, 28], die im Raum aller Bahnen dicht
liegen, aber geringes Maß haben.
Eindimensionale Bewegung
Gilt für eine eindimensionale Bewegung ein Energiesatz dE = 0 und ist die Energie von
dt
der Form
E = 1
2 m ˙x2 + V (x) (4.60)
mit einem Potential V , so läßt sich die Zeit t(x), zu der ein Bahnpunkt x durchlaufen
wird, als Integral angeben und die Bahn x(t) als Umkehrfunktion von t(x) ermitteln,
x(t(ˆx)) = ˆx. Denn wenn wir nach ˙x auflösen und das Vorzeichen von ˙x nach Bahnabschnitt
wählen, je nachdem, ob x zu- oder abnimmt, so erhalten wir für zunehmendes x
dx
dt =2
(E − V (x(t))) . (4.61)
m
Die Ableitung der Umkehrfunktion ist wegen 1 = d
dx dt
x(t(ˆx)) = hierzu invers
dˆx dt | t(ˆx) dˆx |ˆx
dt
dx =2 (E − V (x))−1
, (4.62)
m
und die Zeit t(ˆx), zu der der Ort ˆx durchlaufen wird, ergibt sich durch Integration 7
ˆx
t(ˆx) − t(x) = dx
x
dt
dx =
ˆx
x
dx
2
. (4.63)
(E − V (x)) m
Alle lösbaren Bewegungsgleichungen sind deshalb lösbar, weil sie genügend viele Erhaltungsgrößen
besitzen und weil sich mit den Erhaltungsgrößen die Lösungen wie bei
eindimensionaler Bewegung als Umkehrfunktionen von Integralen über gegebene Funktionen
ermitteln lassen.
7 Integration von (4.61) ergäbe nur eine Integralgleichung, da der Integrand die unbekannte Funktion
x(t) enthält.