papiersparender pdf-Version

118 5 Elektrodynamik
Das Viererpotential ist nach Alfred-Marie Liénard und Emil Wiechert benannt, die es
erstmalig angegeben haben. Schreibt man das Liénard-Wichert-Potential als
A m (x) = q um
, (5.240)
yóu
so lassen sich die zugehörigen Feldstärken mit erträglichem algebraischen Aufwand berechnen.
Hierbei ist u = dz der normierte Tangentialvektor an die Weltlinie des Teilchens
ds
im Schnittpunkt z(s(x)) mit dem Rückwärtslichtkegel von x, die wir durch die Eigenzeit
s einer Uhr parametrisieren, die auf der Weltlinie mitgeführt wird,
u = dz
ds =
1
√
1 − v 21
v =
v, dz
dt , u2 = 1 . (5.241)
Der lichtartige Vierervektor y = x − z(s(x)) zeigt von der Ursache zur Auswirkung:
vom Ereignis z(s(x)), in dem die Weltlinie des Teilchens den Rückwärtslichtkegel von x
durchläuft, zum Beobachter bei x im Abstand r und Richtung n
− z(s(x))|
y =|x
y
x − z(s(x))=r1
n, 2 r
= 0 , yóu = √ (1 − v n) . (5.242)
1 − v 2
Die Eigenzeit s auf der Weltlinie definiert die Zeit s(x), die ein Beobachter bei x mit
Licht von z(s) gerade auf der Uhr des Teilchens angezeigt sieht. Sie hat überall auf dem
Vorwärtslichtkegel von z(s) den Wert s.
Den Vierergradienten km von s(x) bestimmen wir durch Ableiten von y 2 = 0,
0 = (δm n − u n ∂ms) yn , km := ∂ms = ym
. (5.243)
yóu
Er ist lichtartig, k2 = 0, und hat die Zerlegung
√
1 − v 2
k =
(5.244)
1 − vn1
n.
Damit können wir die Ableitungen von y und yóu durch die Viererbeschleunigung
˙u = du dt d 1
1
= √
ds ds dt1 − v 21 v= (1 − v 2 ) 2 va
a (1 − v 2 a =
) + v (va), d2z dt2 (5.245)
und die bisher eingeführten Größen ausdrücken,
∂my n = δm n − u n km ,
∂m(yóu) = (∂my n ) un + yó˙ukm = um + (yó˙u − 1) km .
Wir erhalten so die Feldstärken
Fmn = ∂mAn − ∂nAm = − q
(yóu) 2∂m(yóu)
q
un + ∂mun − m ↔ n
(yóu)
q
= kmwn − knwm , wm =
(yóu) 2um + q
(yóu) ( ˙um − um kó˙u) .
(5.246)
(5.247)
5.9 Geladenes Punktteilchen 119
Insbesondere besagt dies für das elektrische Feld, E i = F0i = k0wi − kiw0 ,
E(t,x) = q (1 − v 2 )
r2 (1 − v n) 3n
q
− v+
r (1 − v n) 3 n ×(n − v) ×a. (5.248)
Sein beschleunigungsunabhängiger Teil fällt mit 1/r 2 ab und zeigt nicht in Richtung n
von der Ursache, dem retardierten Ereignis z zur Auswirkung bei x, sondern in Richtung
von x−(z+rv), weg von dem Bestimmungsort z+rv, den das Teilchen mit gleichförmiger
Geschwindigkeit v in dem Augenblick erreichen würde, in dem es sich bei x auswirkt.
Der beschleunigungsabhängige Teil, das Strahlungsfeld, fällt wie 1/r ab und ist senkrecht
auf der Richtung n von der Ursache zum Ort x.
Das Magnetfeld des Teilchens steht senkrecht auf n und E. Denn es ist k 0 = | k| und
B k = −ǫijkkiwj = ǫijkk i wj = ǫijk k i /k 0 E j , B = n × E . (5.249)
Die Energiestromdichte S = E × B/(4π) des Strahlungsfeldes zeigt in Richtung n von
der Ursache weg: eine beschleunigte Punktladung strahlt Energie ab.
Mathematisch sind die Lösungen der Feldgleichungen auf den Lösungskurven der
Bahngleichungen singulär. Es gibt keine stetig differenzierbare Felder und Bahnen, die
die Wirkung (5.188, 5.230, 4.14) stationär machen.
Auch aus physikalischen Gründen darf die Ladung nicht auf einen Punkt konzentriert
sein. Falls keine Wechselwirkung negativ zur Energiedichte beiträgt, dann kann die Ladung
eines Elektrons nicht auf eine Kugelschale mit einem kleineren Radius als dem
halben Elektronradius
rElektron =
e 2
mElektronc 2 = 2,818ó10 −15 m (5.250)
konzentriert sein, sonst enthielte schon das elektrische Feld außerhalb des ruhenden
Elektrons mehr als seine Ruhenergie.