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264 D Die Lorentzgruppe
Die drehungsfreie Lorentztransformation Lp transformiert den Vierimpuls p eines ruhenden
Teilchens der Masse m, p = (m, 0, 0, 0) T , in den Viererimpuls p = (p 0 , p 1 , p 2 , p 3 ) T
eines Teilchens, das sich mit Geschwindigkeit v i = p i /p 0 (3.50) bewegt.
D.3 Die Drehgruppe SU(2)/Z2
Lp p = p (D.40)
Die Gruppe SO(3) der Drehungen der dreidimensionalen reellen Raumes ist isomorph
zur Faktorgruppe SU(2)/Z2. Dieser mathematische Sachverhalt wird in diesem Abschnitt
erläutert.
Jede Untergruppe H einer Gruppe G definiert durch (B.20)
g H ∼ g ′ ⇔ g −1 g ′ ∈ H . (D.41)
eine Äquivalenzrelation zwischen Gruppenelementen von G. Für die Menge der Äquivalenzklassen
steht das Symbol G/H. Gilt zudem ghg −1 ∈ H für alle g ∈ G und alle
h ∈ H, so heißt die Untergruppe H normal. Dann bilden die H-Äquivalenzklassen eine
Gruppe, die Faktorgruppe G/H. Denn das Produkt g2g1 ist äquivalent dem Produkt
äquivalenter Elemente g2h2g1h1 = g2g1(g −1
1 h2g1)h1 = g2g1h ′ .
Beispielsweise ist Z2, die zyklische Gruppe mit 2 Elementen, die Untergruppe von
SU(2), die aus 1 und −1 besteht, eine normale Untergruppe. Matrizen U ∈ SU(2)
sind Z2-äquivalent, wenn sie sich höchstens im Vorzeichen unterscheiden. Die Gruppe
SU(2)/Z2 besteht aus SU(2)-Transformationen ” bis auf das Vorzeichen“.
Daß SU(2)/Z2 isomorph zu SO(3) ist, besagt: es gibt eine bijektive, also invertierbare
und ausschöpfende, Abbildung von SU(2)/Z2, die jedem Paar ±U unitärer 2×2-Matrizen
mit det U = 1 eine 3×3-Drehmatrix DU = D−U zuordnet und mit der Gruppenverknüpfung
verträglich ist, DU1U2 = DU1DU2. Die Darstellung ist ausschöpfend, jede Drehung
D ∈ SO(3) läßt sich als Darstellung DU einer unitären 2×2-Matrix U schreiben. Dabei
ist das Urbild von DU in SU(2)/Z2 eindeutig. Wenn DU = DV gilt, dann ist U = V oder
U = −V .
Die Gruppe SU(2) ist die dreidimensionale Kugeloberfläche S 3 . Denn die Spalten jeder
unitären 2×2-Matrix U bilden wegen U † U = 1 eine Orthonormalbasis. Hat also U die
Form
U =a c
b d, (D.42)
so gilt |a| 2 + |b| 2 = 1. Die zweite Spalte steht genau dann senkrecht auf der ersten,
a ∗ c + b ∗ d = 0, wenn (c, d) ein Vielfaches von (−b ∗ , a ∗ ) ist, und dieses Vielfache wird
dadurch festgelegt, daß die Determinante von U Eins ist. Daher hat U die Form
U =a −b ∗
b a ∗, (ℜa) 2 + (ℑa) 2 + (ℜb) 2 + (ℑb) 2 = 1 . (D.43)
Zu jedem U gehört ein Punkt auf S 3 = {(v, w, x, y) ∈ R 4 : v 2 + w 2 + x 2 + y 2 = 1} und
zu jedem Punkt auf S 3 gehört ein U ∈ SU(2) mit a = v + iw und b = x + iy .
D.3 Die Drehgruppe SU(2)/Z2
Da sich jeder Punkt auf S3 mit einem Winkel 0 ≤ α ≤ 2π und einem dreidimensionalen
Einheitsvektor (nx, ny, nz) als (v, w, x, y) = cosα/2 (1, 0, 0, 0) − sin α/2 (0, nz, −ny, nx)
schreiben läßt, kann jede SU(2)-Matrix als folgende Linearkombination der 1-Matrix σ0 und der drei Pauli-Matrizen σi , i = 1, 2, 3, geschrieben werden:
σ 0 =1
σ
1, 1 = ,
1
σ
1 2 , =−i
σ
i 3 =1
(D.44)
−1,
U = (cos α α
)1 − i (sin
2 2 )nóσ =cos α α − i (sin 2
−i (sin α
265
2 ) nz −i (sin α
2 ) (nx − iny)
) nz.(D.45)
2 ) (nx + iny) cos α
2
+ i (sin α
2
Für die neun Produkte der drei Pauli-Matrizen gilt, wie man elementar nachrechnet,
σ i σ j = δ ij 1 + i ε ijk σ k , i, j, k ∈ {1, 2, 3} . (D.46)
Multipliziert und summiert mit m i und n j lautet dies
(mσ)(nσ) = (món)1 + i(m × n)σ . (D.47)
Insbesondere ist für einen Einheitsvektor n das Quadrat (nσ) 2 = 1 und mit (nσ) 2k = 1
und (nσ) 2k+1 = nσ vereinfachen sich Potenzreihen der Matrix nσ
exp(−i α
2
nσ) =
k
=
k
(−iα/2) 2k
(2k)!
(−1) k ( α
2 )2k
(2k)!
1 +
k
1 − i
= (cos α α
)1 − i (sin )nσ .
2 2
(−iα/2) 2k+1
(2k + 1)! nσ
k
(−1) k ( α
2 )2k+1
(2k + 1)!
nσ
(D.48)
Es wird also jedes U ∈ SU(2) von einer infinitesimalen Transformation −i α nσ erzeugt,
2
U = exp(−i α
2
α α
nσ) = cos 1 − i sin
2 2 nóσ . (D.49)
Die zu U ∈ SU(2) gehörige Drehung DU ∈ SO(3) ist die lineare Abbildung
DU : K ↦→ K ′ = UKU †
(D.50)
von hermiteschen, spurfreien 2 × 2-Matrizen K auf hermitesche, spurfreie Matrizen K ′ .
Eine 2×2-Matrix K ist hermitesch
k 11 k 12
k 21 k 22=k 11 k 12
k 21 k 22†
=k 11 ∗ 21 ∗ k
k12 ∗ k22 ∗, (D.51)
wenn die Matrixelemente k 11 und k 22 reell sind und k 12 das komplex konjugierte von k 21
ist. Sie ist spurfrei, wenn k 11 = −k 22 gilt. Solche Matrizen bilden einen dreidimensionalen
reellen Vektorraum und können als reelle Linearkombinationen der Pauli-Matrizen
(D.44) geschrieben werden
K = kσ = k i σ i =k 3 k 1 − ik 2
k 1 + ik 2 −k 3. (D.52)