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48 3 Transformationen
der Tore und Durchgänge Januswinkel, so wie der Januar zwischen dem alten Jahr und
dem Rest des neuen Jahres liegt.
Leuchtstärke
Bewegte Beobachter sehen nicht nur verfärbte und verformte, sondern auch in der Leuchtstärke
abgeänderte Bilder. Wir bezeichnen mit n(ω, θ, ϕ) dω dt dΩ die Anzahl der Photonen
im Frequenzintervall dω, die ein Beobachter innerhalb der Zeit dt in Richtung
(θ, ϕ) im Raumwinkelelement dΩ = sin θ dθ dϕ sieht. Der in Richtung θ = 0 bewegte
Beobachter sieht die Photonen im dopplerverschoben Frequenzintervall dω ′ = D −1 dω
(2.38) im durch Aberration geänderten Raumwinkelelement dΩ ′ = D 2 dΩ (3.31). Das
Zeitintervall dt ′ , in dem der bewegte Beobachter am gleichen Ort und zur gleichen Zeit
dieselbe Zahl von Photonen sieht, ist dt ′ = D dt. Dies macht man sich am einfachsten
durch die Überlegung klar, daß bei einem gleichmäßigen Photonenzahlstrom die Zahl
der Photonen pro Zeit genauso eine Frequenz definiert wie die Zahl der Schwingungen
der Welle pro Zeit. Da beide Beobachter dieselbe Zahl von Photonen sehen, gilt
n ′ dω ′ dt ′ dΩ ′ = n ′ D 2 dω dt dΩ = n dω dt dΩ , (3.33)
und der bewegte Beobachter sieht die spektrale Photonenzahlstromdichte
n ′ (ω ′ , θ ′ , ϕ ′ ) =
3.4 Energie und Impuls
(1 + v cosθ)2
1 − v 2 n(ω, θ, ϕ) . (3.34)
Als Erhaltungsgrößen bezeichnen wir Funktionen φ(x,v, t) der Zeit t, der Orte x und der
Geschwindigkeiten v = dx von Teilchen, deren Wert sich nicht ändert, wenn die Teilchen
dt
ihre Bahnen durchlaufen φ(x(t),v(t), t) = φ(x(0),v(0), 0). Beispielsweise sind bei einem
kräftefreien Teilchen in der Newtonschen Physik wegen der Bewegungsgleichung
dp
= 0 ,
dt
der Impuls p und die Energie E erhalten
dx 1
= p (3.35)
dt m
p = mv , E = E0 + 1
2 mv 2 . (3.36)
Welchen Wert die Energie für verschwindende Geschwindigkeit hat, ist in Newtonscher
Physik belanglos, E0 wird normalerweise einfach Null gesetzt.
Transformation additiver Erhaltungsgrößen
3.4 Energie und Impuls 49
Natürlich sind bei einem freien Teilchen alle Funktionen der Geschwindigkeit Erhaltungsgrößen,
denn die Geschwindigkeit ist bei kräftefreier Bewegung konstant. Die besondere
Bedeutung von Energie und Impuls rührt daher, daß sie additive Erhaltungsgrößen sind,
das heißt, die Summe der Impulse und der Energien mehrerer Teilchen sind auch dann
noch Erhaltungsgrößen, wenn sich die einzelnen Impulse und Energien zum Beispiel
durch elastische Stöße ändern.
Stellt ein gleichförmig bewegter Beobachter additive Erhaltungsgrößen φ fest, so liegen
auch für jeden anderen Beobachter, der Poincaré-transformierte Koordinaten x ′ = Λ x+a
(3.11) verwendet, additive Erhaltungsgrößen φ ′ vor, und es gibt eine Transformation, die
die Erhaltungsgrößen ineinander umzurechnen gestattet.
Bei x ′ = Λ x + a ist Λ eine Lorentzmatrix, die zum Beispiel zu einer drehungsfreien
Lorentztransformation (3.9) oder zu einer Drehung gehört, a = (a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ) gehört zu
einer Verschiebung von Zeit und Ort.
Weil die Erhaltungsgrößen additiv sind, müssen sie linear transformieren
(φ(1) + φ(2)) ′ = φ ′ (1) + φ′ (2) , (cφ)′ = cφ ′ , (3.37)
denn für beide Beobachter sind die Erhaltungsgrößen Summen und Vielfache der einzelnen
Teile. Die Transformation ist also wie eine Lorentztransformation von der Form
φ ′ = MΛ,aφ . (3.38)
Die in diesem Transformationsgesetz auftretenden Matrizen MΛ,a sind dadurch eingeschränkt,
daß eine weitere Transformation x ′′ = Λ2x ′ + a2, die einer ersten Transformation
x ′ = Λ1x + a1 folgt, auch gleich direkt ausgewertet werden kann
x ′′ = Λ2◦1x + a2◦1 , Λ2◦1 = Λ2Λ1 , a2◦1 = a2 + Λ2a1 . (3.39)
Für die additiven Erhaltungsgrößen muß daher
φ ′′ = MΛ2◦1, a2◦1φ = MΛ2, a2MΛ1, a1φ (3.40)
gelten, und zwar für beliebige Werte der Erhaltungsgrößen φ. Also müssen Produkte der
Matrizen MΛ,a die Matrix ergeben, die zur hintereinander ausgeführten Transformation
gehört
MΛ2◦1, a2◦1 = MΛ2, a2MΛ1, a1 . (3.41)
Matrizen Mg, die zu Elementen g einer Gruppe G gehören, wobei ihrem Matrixprodukt
Mg2Mg1 = Mg2◦g1 das Produkt g2 ◦ g1 entspricht, heißen Darstellungen der Gruppe G.
Welche Darstellungen es gibt, ist mathematisch ausführlich untersucht.
Viererimpuls
Bei der einfachsten Darstellung von Poincarétransformationen sind die Matrizen MΛ,a
durch Λ selbst gegeben. Andere Transformationen treten, wie wir später sehen werden,
bei der Transformation des Drehimpulses und des Energieschwerpunktes (4.118) auf.