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218 A Strukturen auf Mannigfaltigkeiten
Auf N definierte Funktionen f werden bei der Abbildung Φ durch Φ ∗ f = f ◦ Φ zu
Funktionen auf M verkettet, wenn man f(x ′ (x)) = (Φ ∗ f)(x) als Funktion von x auffaßt.
Faßt man die Funktion h = (Φ∗v)f, die durch Anwenden des verschleppten Vektorfeldes
Φ∗v auf eine Funktion f entsteht, als Funktion von x auf, so stimmt sie mit der Funktion
überein, die man durch Anwenden von v auf die verkettete Funktion erhält
v(Φ ∗ f) = Φ ∗(Φ∗v)f, v(Φ ∗ f)|x = v m (x) ∂x′n
∂x m∂′ n f(x′ )| x ′ (x) . (A.139)
Ebenso wie Funktionen werden Differentialformen von N durch
Φ ∗ ω ′ |x = ω′ m1...mp (x′ (x)) ∂x′m1 ∂x′mp
. . .
n1 ∂x ∂xnp dxn1 . . .dx np (A.140)
auf M zurückgezogen. Der Integralsubstitutionssatz und die Definition (A.76) ist einfach
ω = Φ ∗ ω . (A.141)
Φ(M)
Gemäß (A.94) vertauscht die äußere Ableitung mit Φ ∗ , Φ ∗ (dω) = d(Φ ∗ ω).
Eine Metrik g ′ kl auf N induziert auf M die Metrik
M
∂x ′l
(Φ ∗ g ′ )mn |x = gmn(x) = ∂x′k
∂xm ∂xng′ kl (x′ (x)) . (A.142)
Dies gilt insbesondere für Untermannigfaltigkeiten M ⊂ N. Dort definiert die induzierte
Metrik g = Φ∗g ′ mit √ g dpx (A.129) das Volumenelement. Beispielsweise ist die
Weglänge ds
Lieableitung
dxm dx
ds
n
ds gmn das metrische Volumen einer Kurve.
Zu jeder einparametrigen Gruppe von Selbstabbildungen Φα der Mannigfaltigkeit gehört
ein Vektorfeld ξ. Seien die Transformationen Φα einer einparametrigen Gruppe so
parametrisiert, daß Φα+β = ΦαΦβ = ΦβΦα gilt. Dann gehört α = 0 zur identischen
Abbildung Φ0 = id und es gilt (Φα) −1 = Φ−α. Variiert α, so durchläuft Φαx = x ′ (α, x)
für jedes festgehaltene x als Funktion von α eine Kurve mit Tangentialvektoren
d(Φαx) m
= ξ
dα
m (Φα(x)) . (A.143)
Sie definieren ein Vektorfeld, das wegen Φα+ε(x) − Φα(x) = Φε(Φα(x)) − Φ0(Φα(x)) von
α und x nur über Φα(x) abhängt. Es kann demnach bei α = 0 bestimmt werden.
ξ m m d(Φαx)
(x) =
dα |α=0
Umgekehrt definiert ein Vektorfeld ξ(x) durch das Differentialgleichungssystem
(A.144)
d
dα xm (α, x) = ξ m (x(α, x)) , x(0, x) = x , (A.145)
die Abbildung Φα als Abbildung der Anfangswerte x auf die Lösung x(α, x)
219
Φα(x) = x(α, x) , (A.146)
falls die Integralkurven x(α, x) für beliebige α existieren. Das Vektorfeld ξ heißt infinitesimale
Transformation und Erzeugende der Transformation Φα=1. Diese Transformation
läßt sich als exponentiertes Vektorfeld e ξ schreiben. Zu Φα gehört das erzeugende Vektorfeld
α ξ und der Relation Φα+β = ΦαΦβ entspricht e (α+β)ξ = e αξ e βξ .
Unter den Transformationen Φα ändern sich Tensoren gemäß (A.128). Ihre infinitesimale
Transformation, das heißt, die Ableitung der Tensortransformation nach dem
Transformationsparameter bei α = 0, definiert die Lieableitung längs ξ
T ′ l1...ls l1...ls l1...ls 2
k1...kr = Tk1...kr − LξTk1...kr + O(ξ ) . (A.147)
Dabei besteht die Lieableitung LξT aus einem Verschiebungsterm ξ(∂T) und aus r + s
Termen (∂ξ)T, die von Ableitungen der Jacobimatrizen ∂x′
∂x stammen
∂(Φαx) m
∂x k
= δ
|α=0
m k , ∂α
∂(Φαx) m
∂x k
|α=0
= ∂kξ m
l1...ls m l1...ls
LξTk1...kr =ξ ∂mTk1...kr +
+ (∂k1ξ m l1...ls
)Tm...kr + · · · + (∂krξ m )Tk1...m l1...ls −
− (∂mξ l1 m...ls
)Tk1...kr − · · · − (∂mξ ls l1...m
)Tk1...kr .
(A.148)
(A.149)
Die Lieableitung Lξ eines Skalarfeldes f ist einfach die partielle Ableitung ξ m ∂mf längs
des Vektorfeldes ξ.
Die Liebableitung Luv eines Vektorfeldes v längs eines Vektorfeldes u ist der Kommutator
[u, v] = uv − vu (A.150)
der Differentialoperatoren u = u m ∂m und v = v n ∂n
u m ∂m(v n ∂nf) − v m ∂m(u n ∂nf) = (u m ∂mv n − v m ∂mu n ) ∂nf =Luv n∂nf . (A.151)
Der Kommutator von Vektorfeldern ist ein Vektorfeld, das linear und nach Produktregel
(A.12) auf Funktionen wirkt
[u, v](fg) = ([u, v]f) g + f ([u, v]g) . (A.152)
Er ist antisymmetrisch, linear und erfüllt für Funktionenvielfache fv die Produktregel
[u, v] = −[v, u] , [u, v + w] = [u, v] + [u, w] , [u, fv] = f [u, v] + u(f) v . (A.153)
Der bei Transformationen Φ : x ↦→ Φ(x) verschleppte Kommutator stimmt mit dem
Kommutator der verschleppten Vektorfelder überein
Φ∗[u, v] = [Φ∗u, Φ∗v] , (A.154)