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252 C Elementare Geometrie
und bei verschwindender Torsion gilt DUV = DV U.
Längs jeder geodätischen Linie ist die Länge des Tangentialvektors wegen (C.100)
und 1 d
2 du (UóU) = (DUU)óU = 0 konstant. Sind die geodätischen Linien zudem so
parametrisiert, daß diese Länge für jede geodätische Linie gleich ist, und verschwindet
die Torsion, so ist das Skalarprodukt von V mit U konstant
0 = 1 d
2 dv (UóU) = (DV U)óU = (DUV )óU = d
du (VóU) . (C.118)
Ist also der Vektor V zu Beginn für ein u senkrecht zur Tangente U und zeigt er demnach
von der geodätischen Weltlinie zu einem gleichzeitigen Ereignis auf der benachbarten
geodätischen, so tut er das auch später. Der Vektor V heißt geodätische Abweichung.
Längs jeder geodätischen Linie gilt für die Änderung von V wegen (C.44, C.45) und,
weil DUU und [U, V ] verschwinden, die Gleichung
DUDUV = DU(DV U + T(U, V )) = R(U, V, U) + DU(T(U, V )) . (C.119)
In Komponenten lautet die Gleichung der geodätischen Abweichung
δ 2 V m
δu 2 = Rkln m U k V l U n + δ
δuU k Tkl m V l. (C.120)
Längs jeder geodätischen Linie ist dies ein linear homogenes Differentialgleichungssystem
zweiter Ordnung für den Vektor V m , der zur benachbarten Geodäten zeigt. Im flachen
Raum verschwinden die Krümmung und Torsion und die Differenz V m zur Nachbargeraden
wächst linear an.
Wegen (C.111) ist die Matrix ω 2
ω 2 mn = −RkmlnU k U l = ω 2 nm , ω 2 mnU n = 0 , (C.121)
symmetrisch, wenn der Paralleltransport metrikverträglich und torsionsfrei ist. Sie bildet
U m auf Null und den zu U m orthogonalen Raum auf sich ab. Die Gleichung der
geodätischen Abweichung (C.120) hat dann die Form
δ2V m
δu2 + ω 2 n m V n = 0 . (C.122)
An jedem vorgegebenen Punkt P der geodätischen Linie kann ein Koordinatensystem
eingeführt werden, so daß an diesem Punkt die Konnektion verschwindet, die Metrik
gleich der flachen Metrik gmn |P = ηmn ist, der Tangentialvektor U m = (1, 0, 0, 0) nur
eine Zeitkomponente hat und die Matrix ω 2 diagonal mit Diagonalelementen κi ist.
In einer kleinen Umgebung dieses Punktes lautet dann die Gleichung für geodätische
Abweichung ungefähr
d 2 V i
dt 2 + κiV i = 0 , (keine Summe über i) , i = 1, 2, 3 . (C.123)
C.7 Drehungsfreie Bewegung 253
Ist κi positiv, so ist dies die Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators mit
Einheitsmasse m = 1 und Federkonstante κi . Zu negativem κi gehört Abstoßung in
Richtung der Auslenkung. Im Vakuum und bei verschwindender kosmologischen Konstante
besagen die Einsteingleichungen Rkmlng mn = 0 (8.19), daß die Matrix ω 2 spurfrei
ist und daß die Summe der drei Federkonstanten i κi verschwindet. Wirken die Gezeitenkräfte
zwischen zwei benachbarten geodätischen Linien wie eine rücktreibende,
anziehende Kraft, so gibt es in einer Richtung senkrecht dazu Abstoßung.
Gleiches gilt übrigens auch in Newtonscher Gravitation. Denn das Newtonsche Gravitationspotential
im Vakuum erfüllt die Laplace-Gleichung (5.51)
Entwickelt man das Potential um einen Punkt
i=3
φ(x, y, z) = φ(0, 0, 0) +
i=1
∆φ = 0 . (C.124)
g i x i + 1
2ax 2 + by 2 + cz 2+O(x 3 ) , (C.125)
wobei die quadratischen Terme durch Basiswahl diagonalisiert sind, dann besagt die
Laplace-Gleichung, daß die Summe a + b + c der drei Federkonstanten verschwindet.
Wenn in Newtonscher Gravitation im Vakuum Teilchen im freien Fall die Erde umkreisen,
so pendeln die Weltlinien von nebeneinander laufenden Teilchen umeinander, die
Gezeitenkräfte wirken also in dieser Richtung anziehend. Ist der Abstandsvektor zweier
Teilchen dazu senkrecht und laufen sie mit unterschiedlichem Abstand um die Erde, so
bewirken die Gezeitenkräfte Abstoßung und die Teilchen entfernen sich voneinander.
Ein senkrecht auf eine Zentralmasse fallender Körper wird durch Gezeitenkräfte in
Fallrichtung gestreckt und quer dazu gestaucht. Ein so durch Gezeitenkräfte zerrissener
Komet, der Komet Shoemaker-Levy, schlug 1994 als Kette von hintereinander fallenden
Bruchstücken auf dem Jupiter ein.
In einem fiktiven Tunnel, der durch eine Zentralmasse gebohrt ist, die sich einfachheitshalber
nicht dreht, wirken Gezeitenkräfte für hintereinander fallende Teilchen anziehend,
auf nebeneinander fallende Teilchen wirken sie abstoßend.
Gravitation bewirkt, daß sich der Abstand frei fallender Teilchen ändert, ohne daß
die Teilchen einer spürbaren Kraft ausgesetzt sind. Diese Änderung der beiderseitigen
Abstände durch geodätische Abweichung beruht auf Gezeitenkräften der Gravitation,
die von anderen Massen verursacht wird, nicht auf gegenseitiger Gravitation der Testteilchen.
Die geodätische Abweichung ist unabhängig von den Massen der beteiligten
Testteilchen, wächst mit ihrem Abstand, sofern er klein ist, und ist normalerweise richtungsabhängig.
C.7 Drehungsfreie Bewegung
Ein Beobachter durchlaufe eine Weltlinie xm (s), die mit der Zeit parametrisiert sei, die
seine Uhr anzeigt. Dann hat der Tangentialvektor dxm
ds = e0 m Einheitslänge. Senkrecht im
Sinne des Skalarproduktes stehen an jedem Punkt der Weltlinie drei Basisvektoren ei, i =