papiersparender pdf-Version

312 G Die Noethertheoreme
identisch in den Jet-Variablen verschwinden (4.38)
L (x, {φ}) d D x = dχ(x, dx, {φ}) ⇔ ˆ ∂L
≡ 0 . (G.62)
ˆ∂φ i
Eine wichtige Folgerung des algebraischen Poincaré-Lemmas ist, daß die Divergenz
eines Vektorfeldes j m genau dann identisch in den Jet-Variablen, also ohne Benutzung
von Bewegungsgleichungen, verschwindet, wenn es seinerseits die Divergenz eines Feldes
B mn = −B nm ist
∂mj m = 0 ⇔ j n = ∂mB mn , B mn = −B nm . (G.63)
Wir führen den Beweis [31] von (G.59) getrennt für p-Formen mit p < D und mit
p = D. Dabei beschränken wir uns auf den feldabhängigen Teil der Differentialformen, für
den feldunabhängigen Anteil ω(x, dx, 0) gilt (G.56). Wir unterstellen, daß ω analytisch
in φ und polynomial in den Ableitungen ∂φ, ∂∂φ, . . . ist.
Für p = D, ω = L d D x, schreiben wir die Lagrangefunktion als Integral über ihre
Ableitung
1
L (x, φ, ∂φ, . . .) = dλ
0
∂
L (x, λφ, λ∂φ, . . .) .
∂λ
(G.64)
Der Beitrag von der unteren Integrationsgrenze L (x, 0, 0, . . .) verschwindet, da wir nur
feldabhängige D-Formen betrachten. Die Ableitung ∂L
∂λ
ableitungen ein Vielfaches der Eulerableitung
ist bis auf vollständige Orts-
φ ∂L ∂L
+∂mφ
∂φ ∂(∂mφ) +· · · = φ ˆ ∂L
ˆ∂φ +∂mX m , X m (λ, x, {φ}) = φ ∂L
+. . . . (G.65)
∂(∂mφ)
Hier sind alle Ableitungen von L bei (x, λφ, λ∂φ, . . .) zu nehmen.
Für L d D x folgt
L (x, φ, ∂φ, . . .)d D 1
x = dλ φ
0
ˆ ∂L
ˆ∂φ i
⏐ d
(x,λφ,λ∂φ) D x + dχ , (G.66)
mit χ = χm2...mD dxm2 . . .dx mD und
1
1
m2...mD
χm2...mD (x, {φ}) = εm dλ X
(D − 1)! 0
m (λ, x, {φ}) . (G.67)
Dies zeigt (G.62) und (G.59) für D-Formen.
Der Beweis des algebraischen Poincaré-Lemmas für p < D verwendet algebraische
Operationen, die so gut wie möglich das Umgekehrte der äußeren Ableitung bewirken.
Auf Jet-Formen kann man algebraisch Operationen t n definieren, die linear sind, also
Term für Term wirken, und jeden Term nach der Produktregel t n (fg) = (t n f)g + f(t n g)
abarbeiten. Dann ist t n vollständig durch seine Wirkung auf die elementaren Variablen
t n (x m ) = 0 , t n (dx m ) = 0 ,
t n (φ i ) = 0 , t n (∂m1 . . .∂ml φi l
) =
k=1
δ n mk ∂m1 . . . ˆ ∂mk . . .∂ml φi ,
(G.68)
G.4 Algebraisches Poincaré-Lemma 313
festgelegt. Das Symbol ˆ bedeutet die Auslassung des damit bezeichneten Objektes.
tn läßt also eine Ableitung ∂n von Feldern weg, genauer wirkt tn als Ableitung nach
Ableitungen der Felder φ, das heißt tn = ∂
∂(∂n) .
Offensichtlich vertauschen tm und tn , [tm , tn ] = 0. Weniger offensichtlich ist
[t n , ∂m] = δ n mN{φ} , N{φ} = φ
i ∂
∂φ
i + ∂mφ i
∂
∂(∂mφi + . . . . (G.69)
)
Dabei zählt N{φ} die Felder und ihre Ableitungen {φ}; für Jet-Formen ω, die homogen
vom Grad N in den Feldern und ihren Ableitungen sind, gilt N{φ}ω = Nω. Die Gleichung
(G.69) gilt, wie man leicht nachrechnet, wenn man t n und ∂m auf elementare Variable
anwendet, und sie gilt daher auch für Polynome, denn die linke und die rechte Seite sind
linear und genügen der Produktregel.
Ebenso wie t n ist die Ableitung nach Differentialen durch ihre Wirkung auf den elementaren
Variablen
∂
∂(dxm ) xn = 0 ,
∂
∂(dxm ) φi = 0 ,
und durch Linearität und die Produktregel
∂
∂(dx m ) dxn = δm n ,
∂
∂(dx m ) ∂m1 . . .∂ml φi = 0 ,
∂(ωχ)
∂(dxm ∂ω
=
) ∂(dxm ) χ + (−1)|ω| ω ∂χ
∂(dxm )
(G.70)
(G.71)
auf allen Jet-Formen definiert. Die Gradierung |ω| ist 0 oder 1, je nachdem, ob der
Formengrad von ω gerade oder ungerade ist. Man bestätigt leicht, daß das Differenzieren
nach dx m gefolgt von Multiplizieren mit dx m den Formengrad abzählt. Für p-Formen ω
erhalten wir
Ndx = dx m
Wir betrachten die algebraische Operation
∂
∂(dxm ) , Ndxω = p ω . (G.72)
b = t m ∂
∂(dxm , (G.73)
)
die entgegengesetzt zur äußeren Ableitung d nicht mit einer Differentialform dx multipliziert,
sondern danach differenziert, und die nicht nach x m differenziert, sondern eine
Differentation von den Feldern entfernt. Der Antikommutator
{A, B} = AB + BA (G.74)
von b mit der äußeren Ableitung d = dx m ∂m kann mit der Produktregel
{A, BC} = ABC +BCA = ABC +BAC −BAC +BCA = {A, B}C −B[A, C] (G.75)