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178 8 Dynamik der Gravitation
nennen wir wie diejenige Größen, in die sie für gmn = ηmn übergehen. P m ist der Energie-Impuls-Vierervektor.
Er transformiert unter Lorentztransformationen wie ein Vierervektor
(falls nicht Energie und Impuls abgestrahlt werden).
Die in einem Gebiet V enthaltene Energie und der in V enthaltene Impuls läßt sich
wegen der Einstein-Gleichungen (8.79) aus Oberflächenintegralen über die Metrik bestimmen.
Denn da γ rs γ m0 − γ r0 γ ms für s = 0 verschwindet, enthalten die Gleichungen
für n = 0 keine zweiten Zeitableitungen, sondern sind von der Form
div E m = ρ m mit E im = ∂rγ ri γ m0 − γ r0 γ miund ρ m = 2κ (g T m0 + t m0 ) . (8.82)
So wie die Gaußbedingung der Elektrodynamik schränken diese Gleichungen die Anfangswerte
ein und erlauben es, die in einem Volumen enthaltene Ladung als Oberflächenintegral
über den Rand des Volumens zu bestimmen,
P m (V ) = 1
d
2κ V
3 x∂r∂sγ rs γ m0 − γ r0
γ
ms=
1
d
2κ ∂V
2 fi ∂rγ ri γ m0 − γ r0 γ mi. (8.83)
Zwar ist in jedem Koordinatensystemen richtig, daß sich dieser Impuls im Volumen
nur ändert, wenn Energie- und Impulsströme durch die Oberfläche fließen, aber er hängt
vom verwendeten Koordinatensystem ab und ist nur für solche Gebiete V definiert,
die sich mit einer Karte überdecken lassen. Ob und wie man die Viererimpulse aus
verschiedenen Gebieten addieren kann, die sich nicht mit einer Karte überdecken lassen,
muß noch untersucht werden. Beispielsweise kann nicht einfach geschlossen werden, daß
ein Volumen wie die dreidimensionale Kugelfläche S 3 keinen Viererimpuls enthalte, weil
es keinen Rand habe.
Drehimpuls und Schwerpunktsatz
Wie die Energie-Impulsströme sind auch die Drehimpulsströme erhalten
M mkl = −M mlk = x k (g T ml + t ml ) − x l (g T mk + t mk ) , ∂m M mkl = 0 , (8.84)
denn 2κ M mkl ist wegen der Einsteingleichungen die Divergenz einer im Indexpaar n m
antiysymmetrischen Größe M nmkl
2κ M mkl = x k∂r∂s(γ rs γ ml − γ rl γ ms )−k ↔ l = ∂nM nmkl
M nmkl = x k ∂sγ ns γ ml − γ nl γ ms−x l ∂sγ ns γ mk − γ nk γ ms−γ nk γ ml + γ nl γ mk
(8.85)
Wegen M nmkl = −M mnkl enthält ∂nM n0kl keine Zeitableitung und das Volumenintegral
über die Drehimpulsstromdichte kann mit dem Gaußschen Satz auf dem Rand des
Volumens berechnet werden,
M kl (V ) = 1
d
2κ ∂V
2 fix k ∂sγ is γ 0l − γ il γ 0s−x l ∂sγ is γ 0k − γ ik γ 0s−γ ik γ 0l + γ il γ 0k.
(8.86)
Die Größen M23 , M31 , M12 sind die Komponenten des Drehimpuls, (M10 , M20 , M30 ) der
anfängliche Energie-Schwerpunkt. Da er zeitunabhängig ist, wenn keine Strahlung durch
8.7 Der Energie-Impulskomplex des Gravitationsfeldes 179
den Rand des Volumens strömt, bewegt sich der Energie-Schwerpunkt gradlinig gleichförmig.
X j (t) P 0 = 1
d
2κ ∂V
2 fix j ∂sγ is γ 00 −γ i0 γ 0s−γ ij γ 00 +γ i0 γ 0j=X j (0) P 0 +t P j (8.87)
Zugehörige infinitesimale Symmetrie
Im materiefreien Raum sind t mn die Komponenten von vier erhaltenen Strömen. Zu
ihnen gehören nach dem Noethertheorem (G.16) vier infinitesimale Symmetrien δ n der
Einstein-Wirkung. Um die infinitesimalen Transformationen der Metrik δ n (gkl) zu berechnen,
formen wir die Divergenz von t mn um und lesen δ n (gkl) als Faktor bei der
Variationsableitung − √ g G kl /(2κ) der Einsteinwirkung (mit verschwindender kosmologischen
Konstante) ab,
∂mt mn − 1
2κ δn (gkl) √ gG kl = 0 . (8.88)
Glücklicherweise stimmt die Divergenz von κt mn wegen κt mn = g G mn + ∂r∂sX rmsn /2
mit der von g G mn überein. Zudem verschwindet die kovariante Divergenz des Einsteintensors,
DmG mn = 0 (G.52). Mit (I.15) und (I.16) gilt
κ ∂mt nm = ∂m(g G mn ) = gΓrm r G mn − Γrs n G rs
= − √ gΓkl n − 1
2 Γrk r δl n − 1
2 Γrl r δk n√ gG kl .
Also ist die Einstein-Wirkung invariant unter den infinitesimalen Transformationen
(8.89)
δ n (gkl) = − √ g2Γkl n − Γrk r δl n − Γrl r δk n. (8.90)
Hierbei handelt es sich um die Lieableitung der Metrik längs der vier ” Vektorfelder“
v n = v nl ∂l mit Komponenten
v nl = √ g g nl = γ nl , (8.91)
δ n (gkl) = Lv ngkl = γ nr ∂rgkl + ∂kγ nr grl + ∂lγ nr gkr . (8.92)
Jede Wirkung, die unter allgemeinen Koordinatentransformationen invariant ist, ist spezieller
unter den von v n erzeugten Transformationen invariant. Der gemäß Noethertheorem
zugehörige, erhaltene Strom ist, wenn wir auch Materie einbeziehen, g T mn + t mn .
Anfangswertproblem
Die harmonische Eichung (F.1)
∂mγ mn = 0 (8.93)
legt zusammen mit den Einstein-Gleichungen (8.79) die Zeitentwicklung der Metrik fest,
γγ mn − ∂rγ ms ∂sγ nr = 2κ g T mn + 2κ t mn , (8.94)