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314 G Die Noethertheoreme
als Differenz eines Antikommutators und eines Kommutators geschrieben werden
{b, d} = {b, dx m ∂m} = {t m
∂(dxm ) , dxn }∂n − dx n [t m
∂
∂
∂(dxm ) , ∂n] , (G.76)
die ihrerseits mit {AB, C} = A{B, C} − [A, C]B und mit [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B
zerlegt werden können
{t m
∂
∂
∂(dxm ) , dxn } = t m {
∂(dxm ) , dxn } − [t m , dx n ]
∂(dxm ) = tmδm n , (G.77)
[t m
∂
∂
∂(dxm ) , ∂n] = t m [
∂(dxm ) , ∂n] + [t m , ∂n]
∂(dxm ) = δm n N{φ}
Wir erhalten die wichtige Relation
{d, b} = t n ∂n − dx n N{φ}
∂
∂
∂
∂(dxn )
∂
∂(dxm . (G.78)
)
= ∂nt n + δ n
n N{φ} − N{φ} Ndx
= P1 + N{φ}(D − Ndx) . (G.79)
Die algebraische Operation P1 ordnet eine Ableitung um, indem sie zunächst nach der
Produktregel eine Ableitung wegnimmt und anschließend wieder differenziert
P1 = ∂kt k . (G.80)
Da die äußere Ableitung d nilpotent ist, d 2 = 0, vertauscht sie mit {d, b},
Also gilt wegen (G.79)
[d, {d, b}] = d 2 b + dbd − dbd − bd 2 = 0 . (G.81)
[d, P1 + N{φ}(D − Ndx)] = 0 . (G.82)
Zudem vertauscht d mit N{φ}, weil es die Zahl der Jet-Variablen {φ} nicht ändert und
erhöht die Anzahl der Differentiale um 1, Ndxd = d(Ndx + 1). Daraus ergibt sich
und die Folgerung
[d, P1] = −N{φ}d (G.83)
dω = 0 ⇒ d(P1ω) = 0 . (G.84)
Wir betrachten allgemeiner die algebraischen Operationen Pn
Pn = ∂k1 . . .∂knt k1 . . .t kn , P0 = 1 , (G.85)
die zunächst n Ableitungen wegnehmen und dann wieder n-mal ableiten. Für jedes
Polynom ω in den Ableitungen der Felder gibt es eine Zahl ¯n(ω), so daß
Pnω = 0 ∀n ≥ ¯n(ω) , (G.86)
G.5 Divergenz einer permutationssymmetrischen Phasenraumfunktion 315
denn jedes Monom von ω hat eine beschränkte Zahl von Ableitungen.
Aus den Vertauschungsrelationen (G.69) folgt die Rekursion
P1Pk = Pk+1 + kN{φ}Pk , (G.87)
mit der Pk iterativ durch P1 und N{φ} ausgedrückt werden kann
k−1
Pk =
l=0
(P1 − lN{φ}) . (G.88)
Aus (G.84) folgt auch dω = 0 ⇒ d(P1 − lN{φ})ω = 0 und daher dω = 0 ⇒ d(Pkω = 0).
Wenn für eine p-Form ω, p < D, die zudem homogen vom Grad N ≥ 1 in den
Feldern und ihren Ableitungen ist, die äußere Ableitung verschwindet, dω = 0, und
wenn demnach d(Pkω) = 0 ist, dann können wir mit (G.79) Pkω für k = 0, 1, . . . bis auf
einen Term Pk+1ω als äußere Ableitung schreiben.
N(D − p)ω = −P1ω + d(bω)
d(bPkω) = P1Pkω + N(D − p)Pkω
= Pk+1ω + kNPkω + N(D − p)Pkω
N(D − p + k)Pkω = −Pk+1ω + d(bPkω) k = 0, 1, . . .
(G.89)
Da ω polynomial von Ableitungen der Felder abhängt, bricht diese Rekursion nach endlich
vielen Schritten ab (G.86). Für p < D und N > 0 erhalten wir
¯n(ω)
dω = 0 ⇒ ω = db
k=0
(−) k
Nk+1 (D − p − 1)!
(D − p + k)! Pkω=dη . (G.90)
Damit ist das algebraische Poincaré-Lemma gezeigt. Die Einschränkung auf Differentialformen
mit Homogenitätsgrad N ist unerheblich, denn nichthomogene Differentialformen
lassen sich aus homogenen zusammensetzen, wenn sie, wie wir unterstellen, analytisch
von den Feldern und ihren Ableitungen abhängen.
Das algebraische Poincaré-Lemma gilt nicht, wenn die Mannigfaltigkeit nicht sternförmig
ist oder wenn die Felder φ Abbildungen nicht in die reellen Zahlen sondern in
einen topologisch nichttrivialen Raum sind. Zum Beispiel sind die algebraischen Operationen
tn nicht definiert, wenn die Felder nur Werte auf einer Kugel φiφi = konst > 0
annehmen, denn dann folgt ∂nφiφi = 0 und eine algebraische Operation tn = ∂
∂(∂n) würde
darauf angewendet zum Wiederspruch φiφi = 0 führen.
G.5 Divergenz einer permutationssymmetrischen
Phasenraumfunktion
Die Divergenz einer in zwei Indizes symmetrischen Phasenraumfunktion C mn (x, φ, ∂φ)
verschwindet in sternförmigen Raumzeitgebieten genau dann, wenn sie die zweifache